連立 1 次方程式
![$\displaystyle \left\{ \begin{array}{ccccc} a_{11}\,x_{1} & + & a_{12}\,x_{2} & = & b_{1} \\ a_{21}\,x_{1} & + & a_{22}\,x_{2} & = & b_{2} \end{array} \right.$](img1874.png) |
(582) |
を考える.
このときこの方程式が一意な解ともつ条件を求める.
方程式を書き直すと
![$\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \...
...atrix}x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix}$](img1875.png) |
(583) |
となる.
拡大係数行列は
![$\displaystyle [A\,\vert\,\vec{b}]$](img1876.png) |
![$\displaystyle = \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \end{array} \right]$](img1877.png) |
(584) |
である.
簡約化を行う:
|
![$\displaystyle \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & b_{2} \end{array} \right]$](img1878.png) |
(585) |
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(第一行に
を掛けて第二行に加える.) |
(586) |
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![$\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} &...
...}}} & \displaystyle{\frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}}} \end{array} \right]$](img1880.png) |
(587) |
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(第二行に を掛ける.) |
(588) |
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![$\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & a_{12} &...
...{22}-a_{12}a_{21}} & \displaystyle{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}} \end{array} \right]$](img1881.png) |
(589) |
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(第二行に
を 掛けて第一行に加える.) |
(590) |
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![$\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} a_{11} & 0 & \dis...
...{22}-a_{12}a_{21}} & \displaystyle{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}} \end{array} \right]$](img1883.png) |
(591) |
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(第一行に を掛ける.) |
(592) |
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(第二行に
を掛ける.) |
(593) |
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![$\displaystyle \longrightarrow \left[ \begin{array}{cc\vert c} 1 & 0 & \displays...
...rac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}} \end{array} \right]\,.$](img1886.png) |
(594) |
ここで
と
![$\displaystyle a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq0$](img1888.png) |
(595) |
を条件としてかした.
このとき拡大係数行列の階数は
であり,
一意な解
![$\displaystyle x_{1}$](img1577.png) |
![$\displaystyle = \frac{b_{1}a_{22}-a_{12}b_{2}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\,, \qquad x_{2}= \frac{a_{11}b_{2}-b_{1}a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$](img1889.png) |
(596) |
をもつ.
この結果より,行列
に対してスカラー量
を
![$\displaystyle \det(A)$](img1891.png) |
![$\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$](img1892.png) |
(597) |
と定義する.
を行列式(determinant)という.
以上より,
連立方程式の解の判別条件を得る.
のとき行列
はフルランクであり
一意な解をもつ.
のとき行列
はランクが落ち
一意な解をもたない.
同様にして正方行列
に対して行列式を定義すると
![$\displaystyle 1\times1 \quad \det(A)$](img1895.png) |
![$\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} \end{vmatrix}= a_{11}$](img1896.png) |
(598) |
![$\displaystyle 2\times2 \quad \det(A)$](img1897.png) |
![$\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$](img1892.png) |
(599) |
![$\displaystyle 3\times3 \quad \det(A)$](img1898.png) |
![$\displaystyle = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$](img1899.png) |
(600) |
|
![$\displaystyle = a_{11}a_{22}a_{33} -a_{11}a_{23}a_{32} +a_{12}a_{23}a_{31}$](img1900.png) |
(601) |
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![$\displaystyle \quad -a_{12}a_{21}a_{33} +a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}a_{22}a_{31}$](img1901.png) |
(602) |
となる.
一般に
行列では
![$\displaystyle \det(A)= \sum_{(k_{1},\cdots,k_{n})\in S_{n}}(\pm) a_{1,k_{1}}a_{2,k_{2}}a_{3,k_{3}}\cdots a_{n,k_{n}}$](img1902.png) |
(603) |
となることが予想される.
ここで
は
から
の整数でお互いが異なる値をとる.
総和
はこの組合わせの全ての和をとる.
互いに異なる
個の組合わせを考えるので
足し合せる項は
である.
すなわちこの組合わせの集合
は
である.
の元の個数は順列組合わせの個数となるので
個である.
符合
は次節の置換の符合から定まる.
Kondo Koichi
KONDO Koichi
平成19年1月25日