4.6 行列式の列に関する性質

定理 4.47 (行列式の列に関する性質) 行列式は次の性質もつ．

(1)

成分を除いて行目が全て 0 の場合は行列式のサイズが一つ下がる．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!0\! & \!\cdots\! & \!0 \\ a_{21}\! & ... ...{2n} \\ \vdots\! & & \!\vdots \\ a_{n2}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix}$

(711)

(2)

第列行目の要素全てが共通因子 $\alpha$ をもつとき， $\alpha$ は行列式の外へ．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!\cdots\! & \!\alpha\,a_{1j}\! & \!\cd... ...ots \\ a_{n1}\! & \!\cdots\! & \!a_{nj}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix}$

(712)

(3)

第列が二つのベクトルの和で表されるとき，行列式の和に分解される．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!\cdots\! & \!b_{1j}+c_{1j}\! & \!\cdo... ...ots \\ a_{n1}\! & \!\cdots\! & \!c_{nj}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix}$

(713)

(4)

第列と第列を入れ替えると行列式の符合が反転する．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!\cdots\! & \!a_{1i}\! & \!\cdots\! & ... ...\! & \!a_{nj}\! & \!\cdots\! & \!a_{ni}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix}$

(714)

(5)

同じ列があるときは行列式は 0 となる．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!\cdots\! & \!b_{1}\! & \!\cdots\! & \... ...! & \!b_{n}\! & \!\cdots\! & \!b_{n}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix} =0$

(715)

(6)

第列を $\alpha$ 倍して第列に加えても行列式は等しい．

$\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}\! & \!\cdots\! & \!a_{1i}+\alpha\,a_{1j}\! ... ...\! & \!a_{ni}\! & \!\cdots\! & \!a_{nj}\! & \!\cdots\! & \!a_{nn} \end{vmatrix}$

(716)