実行列
が複素固有値 を
もつとき,その複素共役
も固有値となる.
なぜなら,固有多項式 は実係数であるから,
のとき
が成り立つからである.
固有値 に属する固有ベクトルを とすると
である.
複素共役をとると
となるので,
に属する固有値ベクトルは
となる.
よって
である.
これより
が成り立つ.
複素数 の実部を
,
虚部を
とおき,
ベクトル の各要素の実部,虚部をとる操作を
,
とおく.
このとき
を得る.
の場合では,
が成り立つ.
,
が 1 次独立のとき
は正則となるから,
と表される.
定理 5.76 (実標準形)
実行列
は
複素数体上で対角化可能であるとする.
固有値を
とし,それに属する固有ベクトルを
とする.
このとき,行列
は
と実数体上でブロック対角化される.
を
実標準形(real canonical form???)という.
例 5.77 (実標準形の具体例)
行列
の固有多項式は
であるから,
固有値は
より,
と複素数になる.
それぞれの固有ベクトルは
より,
となる.
よって
を複素数体上で対角化すると
を得る.
次に
を実数体上で実標準形に分解する.
,
となることに注意すると
を得る.
行列
,
となることから,
は既に実標準形のかたちをしている.
Kondo Koichi
KONDO Koichi
平成19年1月25日