3.12 正規直交系は 1 次独立

定理 3.58 (直交系の 1 次独立性) 内積空間

において，ベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\in V$ が直交系であるとき， $\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n$ は 1 次独立である．

（証明） 1 次関係

$\displaystyle c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_j\vec{u}_j+ \cdots+ c_n\vec{u}_n= \vec{0}$

の両辺と $\vec{u}_j$ との内積をとると

$\displaystyle \left({c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2+\cdots+c_j\vec{u}_j+\cdots+c_n\vec{u}_n}\,,\,{\vec{u}_j}\right)$	$\displaystyle = \left({\vec{0}}\,,\,{\vec{u}_j}\right)$
$\displaystyle c_1\left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_j}\right)+ c_2\left({\vec{u}_2}... ..._j}\,,\,{\vec{u}_j}\right)+ \cdots+ c_n\left({\vec{u}_n}\,,\,{\vec{u}_j}\right)$	$\displaystyle =0$

となる． $\left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\alpha\delta_{ij}$ ( $\alpha\neq0$ ) より

$\displaystyle c_1\times 0+ c_2\times 0+ \cdots+ c_j\times \alpha+ \cdots+ c_n\times 0$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle c_j$	$\displaystyle =0$

を得る．すべての $j=1,2,\cdots,n$ に対して同様に成り立つので

$\displaystyle c_1=0,\quad c_2=0,\quad \cdots,\quad c_j=0,\quad \cdots,\quad c_n=0$

となる．自明な 1 次関係のみであるから，ベクトル $\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n$ は 1 次独立である．