定義 3.99 (基底)
ベクトル空間
が 1 次独立なベトクル
,
,
,
により生成される空間
として表されるとき,
ベクトルの組
を
の
基底(basis)という.
例 3.100 (基底の具体例)
は
基本ベクトル
を用いて
と表される.
また,基本ベクトル
は
1 次独立であるから,
は
の基底である.
これを
の
標準基底(standard basis)という.
注意 3.101 (基底の取り方の非一意性)
基底の取り方は一意ではない.
例 3.102 (基底の具体例)
の基底を考える.
は標準基底
をもち,
と表される.
他の基底を考える.
例えば,
は基底となり得るか調べる.
まず,
であるから,
は 1 次独立である.
次に,
となるか調べる.
すなわち
の任意のベクトル
に対して
をみたす
が一意に定まるか調べる.
この式を書き換えると
となる.
これは
についての非同次連立方程式
である.
より
は正則であるから
となる.
は任意の
に対して一意に定まる.
よって,
が成り立つ.
以上より
は
の基底である.
Kondo Koichi
KONDO Koichi
平成19年1月25日