定義 3.99 (基底)
ベクトル空間
![$ V$](img356.png)
が 1 次独立なベトクル
![$ \vec{u}_{1}$](img951.png)
,
![$ \vec{u}_{2}$](img952.png)
,
![$ \cdots$](img596.png)
,
![$ \vec{u}_{n}$](img1222.png)
により生成される空間
として表されるとき,
ベクトルの組
を
![$ V$](img356.png)
の
基底(basis)という.
例 3.100 (基底の具体例)
![$ \mathbb{R}^n$](img339.png)
は
基本ベクトル
![$ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n$](img346.png)
を用いて
と表される.
また,基本ベクトル
![$ \vec{e}_1,\vec{e}_2,\cdots,\vec{e}_n$](img346.png)
は
1 次独立であるから,
は
![$ \mathbb{R}^n$](img339.png)
の基底である.
これを
![$ \mathbb{R}^n$](img339.png)
の
標準基底(standard basis)という.
注意 3.101 (基底の取り方の非一意性)
基底の取り方は一意ではない.
例 3.102 (基底の具体例)
![$ \mathbb{R}^2$](img547.png)
の基底を考える.
![$ \mathbb{R}^2$](img547.png)
は標準基底
![$ \{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$](img1262.png)
をもち,
と表される.
他の基底を考える.
例えば,
は基底となり得るか調べる.
まず,
であるから,
![$ \vec{u}_1,\vec{u}_2$](img1266.png)
は 1 次独立である.
次に,
となるか調べる.
すなわち
![$ \mathbb{R}^2$](img547.png)
の任意のベクトル
![$ \vec{x}$](img400.png)
に対して
をみたす
![$ x'_1,x'_2$](img1269.png)
が一意に定まるか調べる.
この式を書き換えると
となる.
これは
![$ \vec{x}'$](img1272.png)
についての非同次連立方程式
![$ P\vec{x}'=\vec{x}$](img1273.png)
である.
![$ \det(P)\neq0$](img1274.png)
より
![$ P$](img1064.png)
は正則であるから
となる.
![$ x'_1,x'_2$](img1269.png)
は任意の
![$ x_1,x_2$](img1238.png)
に対して一意に定まる.
よって,
![$ \mathbb{R}^2=
\left\langle \vec{u}_1,\,\,
\vec{u}_2\right\rangle $](img1276.png)
が成り立つ.
以上より
は
![$ \mathbb{R}^2$](img547.png)
の基底である.
Kondo Koichi
KONDO Koichi
平成19年1月25日