定義 3.163 (正規直交化)
内積空間
![$ V$](img356.png)
において,基底
![$ \{\vec{v}_{1}$](img1731.png)
,
![$ \vec{v}_{2}$](img955.png)
,
![$ \cdots$](img596.png)
,
![$ \vec{v}_{n}\}$](img1732.png)
を基底
![$ \{\vec{u}_{1}$](img1564.png)
,
![$ \vec{u}_{2}$](img952.png)
,
![$ \cdots$](img596.png)
,
![$ \vec{u}_{n}\}$](img1532.png)
に取り替える.
このとき
![$ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$](img1310.png)
が正規基底となるとき,
この操作を
正規化(normalize)という.
直交基底となるとき,
直交化(orthogonalize)という.
正規直交基底となるとき,
正規直交化(orthonormalize)という.
定理 3.164 (正規化)
内積空間
![$ V$](img356.png)
の
基底
![$ \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}$](img1733.png)
に対して
次の式で定まる
![$ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\}$](img1734.png)
は
正規基底となる:
定理 3.165 (グラム・シュミットの直交化法)
内積空間
![$ V$](img356.png)
の基底
![$ \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\cdots,\vec{v}_n\}$](img1733.png)
に
対して次の式で定まる
![$ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_n\}$](img1734.png)
は
![$ V$](img356.png)
の正規直交基底となる.
この手法を
グラム・シュミットの直交化法(Gram-Schmidt orthogonalization)
という.
(証明)
以下同様.
例 3.166 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)
![$ \mathbb{R}^2$](img547.png)
の基底
を正規直交化する.
グラム・シュミットの直交化法より,
となる.
以上より
は
![$ \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}$](img408.png)
をみたし,
![$ \mathbb{R}^2$](img547.png)
の正規直交基底となる.
例 3.167 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)
![$ \mathbb{R}^2$](img547.png)
の基底
を正規直交化する.
グラム・シュミットの直交化法より,
となる.
以上より
は
![$ \left({\vec{u}_i}\,,\,{\vec{u}_j}\right)=\delta_{ij}$](img408.png)
をみたし,
![$ \mathbb{R}^2$](img547.png)
の正規直交基底となる.
例 3.168 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)
![$ \mathbb{R}^3$](img525.png)
の基底
を正規直交化する.
グラム・シュミットの直交化法より,
となる.
以上より
は
をみたし,
![$ \mathbb{R}^3$](img525.png)
の正規直交基底となる.
問 3.169 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)
![$ \mathbb{R}[x]_n$](img373.png)
の基底
![$ \{1$](img1304.png)
,
![$ x$](img1.png)
,
![$ x^2$](img1296.png)
,
![$ x^3$](img1305.png)
,
![$ x^4$](img1771.png)
,
![$ \cdots$](img596.png)
,
![$ x^n\}$](img1772.png)
を
グラム・シュミットの直交化法で正規直交化せよ.
ただし,内積は
とする.
(答え)
,
,
,
,
とおく.
のノルムは
であるから,まず,
とおく.次に
![$ f_1$](img1779.png)
と
![$ g_0$](img1780.png)
の内積は
であるから,これらは直交しない.
ここで
とおくと
![$ g_0$](img1780.png)
と
![$ \tilde{f}_1$](img1783.png)
は直交する.
![$ \tilde{f}_1$](img1783.png)
のノルムは
である.
![$ \tilde{f}_1$](img1783.png)
を正規化すると
となる.
![$ g_0$](img1780.png)
と
![$ g_1$](img1786.png)
とは正規直交系である.
以下
![$ g_2$](img1787.png)
,
![$ g_3$](img1788.png)
,
![$ \cdots$](img596.png)
は自習.
Kondo Koichi
KONDO Koichi
平成19年1月25日