定義 3.163 (正規直交化)
内積空間
において,基底
,
,
,
を基底
,
,
,
に取り替える.
このとき
が正規基底となるとき,
この操作を
正規化(normalize)という.
直交基底となるとき,
直交化(orthogonalize)という.
正規直交基底となるとき,
正規直交化(orthonormalize)という.
定理 3.164 (正規化)
内積空間
の
基底
に対して
次の式で定まる
は
正規基底となる:
定理 3.165 (グラム・シュミットの直交化法)
内積空間
の基底
に
対して次の式で定まる
は
の正規直交基底となる.
この手法を
グラム・シュミットの直交化法(Gram-Schmidt orthogonalization)
という.
(証明)
以下同様.
例 3.166 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)
の基底
を正規直交化する.
グラム・シュミットの直交化法より,
となる.
以上より
は
をみたし,
の正規直交基底となる.
例 3.167 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)
の基底
を正規直交化する.
グラム・シュミットの直交化法より,
となる.
以上より
は
をみたし,
の正規直交基底となる.
例 3.168 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)
の基底
を正規直交化する.
グラム・シュミットの直交化法より,
となる.
以上より
は
をみたし,
の正規直交基底となる.
問 3.169 (グラム・シュミットの直交化法の具体例)
の基底
,
,
,
,
,
,
を
グラム・シュミットの直交化法で正規直交化せよ.
ただし,内積は
とする.
(答え)
, , , , とおく.
のノルムは
であるから,まず,
とおく.次に
と
の内積は
であるから,これらは直交しない.
ここで
とおくと
と
は直交する.
のノルムは
である.
を正規化すると
となる.
と
とは正規直交系である.
以下
,
,
は自習.
Kondo Koichi
KONDO Koichi
平成19年1月25日