次元のベクトル空間
と
次元のベクトル空間
において,
基底をそれぞれ
,
とすると,
,
の任意のベクトルはそれぞれ
と表される.
このとき,
線形写像
;
は
となる.
ベクトル
,
,
,
は
のベクトルであるから,
基底
を用いて
と表されるので
★![$\displaystyle )\qquad \left(f(\vec{u}_1),\,\, f(\vec{u}_2),\,\, \cdots,\,\, f(\...
...\, \vec{v}_m\right)A, \qquad A= \begin{bmatrix}a_{ij} \end{bmatrix}_{m\times n}$](img2207.png) |
|
と書ける.
以上より(▲), (☆), (★)より
を得る.
は
1 次独立であるから
♭![$\displaystyle )\qquad \vec{\tilde{y}}=A\vec{\tilde{x}}$](img2209.png) |
|
が成り立つ.
線形写像
により
線形写像
が定まる.
注意 4.26 (一般のベクトル空間における線形写像)
一般のベクトル空間における線形写像
![$ f$](img156.png)
と
数ベクトル空間における線形写像
![$ \varphi$](img2211.png)
とを
次のように同一視する:
定義 4.27 (線形写像の表現行列)
ベクトル空間
![$ U$](img1487.png)
の基底を
![$ \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$](img1688.png)
とし,
ベクトル空間
![$ V$](img356.png)
の基底を
![$ \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$](img2200.png)
とする.
このとき,
線形写像
![$ f:U\to V$](img2193.png)
が
をみたすとき,
行列
![$ A$](img265.png)
を
![$ U$](img1487.png)
の基底
![$ \{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$](img1688.png)
と
![$ V$](img356.png)
の基底
![$ \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$](img2200.png)
に関する
表現行列という.
定理 4.28 (線形写像の行列表示)
線形写像
![$ f:U\to V$](img2193.png)
において,
ベクトル空間
![$ U$](img1487.png)
の基底が
![$ \Sigma=\{\vec{u}_{1},\vec{u}_{2},\cdots,\vec{u}_{n}\}$](img2187.png)
であり,
その基底における座標を
![$ (\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\cdots,\tilde{x}_n)_{\Sigma}$](img2225.png)
とし,
ベクトル空間
![$ V$](img356.png)
の基底が
![$ \Pi=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\cdots,\vec{v}_{m}\}$](img2188.png)
であり,
その基底における座標を
![$ (\tilde{y}_1,\tilde{y}_2,\cdots,\tilde{y}_m)_{\Pi}$](img2226.png)
とする.
このとき,
行列
![$ A$](img265.png)
が
![$ f$](img156.png)
の表現行列であることと,
が成り立つこととは,必要十分条件である.
注意 4.29 (表現行列)
![$ U=\mathbb{R}^{n}$](img2228.png)
,
![$ V=\mathbb{R}^{m}$](img2229.png)
とし,
![$ \mathbb{R}^{n}$](img213.png)
の基底を標準基底
![$ \{\vec{e}_{1},\vec{e}_{2},\cdots,\vec{e}_{n}\}$](img1692.png)
とし,
![$ \mathbb{R}^{m}$](img2230.png)
の基底を標準基底
![$ \{\vec{e}'_{1},\vec{e}'_{2},\cdots,\vec{e}'_{m}\}$](img2231.png)
とする.
このとき
![$ \vec{x}=\vec{\tilde{x}}$](img2232.png)
,
![$ \vec{y}=\vec{\tilde{y}}$](img2233.png)
となるから,
(♭)は
![$ \vec{y}=A\vec{x}$](img2108.png)
となる.
よって,
本節の表現行列の定義により定まる
![$ A$](img265.png)
と
前節の表現行列の定義により定まる
![$ A$](img265.png)
とは,
この条件のもとで一致する.
注意 4.30 (表現行列)
線形写像
![$ \vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$](img2104.png)
の標準基底に
おける表現行列は
![$ A$](img265.png)
である.
定理 4.31 (基底を取り換えたときの表現行列)
線形写像
![$ f:U\to V$](img2193.png)
において
![$ U$](img1487.png)
の基底
![$ \{\vec{u}_{1}$](img1564.png)
,
![$ \vec{u}_{2}$](img952.png)
,
![$ \cdots$](img596.png)
,
![$ \vec{u}_{n}\}$](img1532.png)
と
![$ V$](img356.png)
の基底
![$ \{\vec{v}_{1}$](img1731.png)
,
![$ \vec{v}_{2}$](img955.png)
,
![$ \cdots$](img596.png)
,
![$ \vec{v}_{m}\}$](img2234.png)
に
関する表現行列を
![$ A$](img265.png)
とする.
すなわち,
とする.
![$ U$](img1487.png)
の基底
![$ \{\vec{u}'_{1}$](img1565.png)
,
![$ \vec{u}'_{2}$](img1566.png)
,
![$ \cdots$](img596.png)
,
![$ \vec{u}'_{n}\}$](img1567.png)
と
![$ V$](img356.png)
の基底
![$ \{\vec{v}'_{1}$](img2236.png)
,
![$ \vec{v}'_{2}$](img2237.png)
,
![$ \cdots$](img596.png)
,
![$ \vec{v}'_{m}\}$](img2238.png)
に
関する表現行列を
![$ B$](img267.png)
とする.
すなわち,
とする.
このとき
が成り立つ.
ここで
![$ P$](img1064.png)
,
![$ Q$](img1588.png)
は基底の変換行列であり,
である.
(証明)
まず,
が成り立つ.また,
となる.よって,
![$ AP=QB$](img2248.png)
であり
が成り立つ.
定理 4.32 (線形変換の表現行列の基底の取り替え)
ベクトル空間
![$ U$](img1487.png)
の基底
![$ \{\vec{u}_1$](img989.png)
,
![$ \cdots$](img596.png)
,
![$ \vec{u}_n\}$](img1292.png)
における
線形変換
![$ f$](img156.png)
の表現行列を
![$ A$](img265.png)
とし,
基底
![$ \{\vec{u}'_1,\cdots,\vec{u}'_n\}$](img2249.png)
における
![$ f$](img156.png)
の表現行列を
![$ B$](img267.png)
とする.
また,基底
![$ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_n\}$](img1310.png)
から
基底
![$ \{\vec{u}'_1,\cdots,\vec{u}'_n\}$](img2249.png)
への
基底の変換行列を
![$ P$](img1064.png)
とする.
このとき
が成り立つ.
(証明)
まず,表現行列
,
は定義より
をみたす.基底の変換行列
![$ P$](img1064.png)
は
をみたす.
このとき
が成り立つので
![$ AP=PB$](img2255.png)
となる.
よって
![$ B=P^{-1}AP$](img2169.png)
を得る.
例 4.33 (表現行列の基底の取り替えの具体例)
線形変換
![$ F:\mathbb{R}[x]_2\to\mathbb{R}[x]_2$](img2091.png)
;
☆![$\displaystyle )\qquad g(x)=F(f(x))=f'(x)x+f(0)x^2+f(1)$](img2256.png) |
|
の表現行列を求める.
![$ \mathbb{R}[x]_2$](img410.png)
の基底を
![$ \{1,\,\,x,\,\,x^2\}$](img1660.png)
とし,
多項式
![$ f(x)$](img396.png)
,
![$ g(x)$](img397.png)
を表すと
となる.
このとき(☆)より
となる.
ここで,
![$ f=1$](img2262.png)
,
![$ f=x$](img2263.png)
,
![$ f=x^2$](img2264.png)
を(☆)に代入すると
それぞれ
![$ g=1+x^2$](img2265.png)
,
![$ g=1+x$](img2266.png)
,
![$ 1+2x^2$](img2267.png)
となるので,
を得る.
![$ A$](img265.png)
は基底
![$ \{1,\,\,x,\,\,x^2\}$](img1660.png)
に関する
![$ F$](img2098.png)
の表現行列である.
これを代入すると
♭![$\displaystyle )\qquad g(x)= \left(1,\,\, x,\,\, x^2\right)A \vec{a}$](img2270.png) |
|
となる.
(▲)と比較すると
![$ \vec{b}=A\vec{a}$](img2271.png)
が成立する.
よって,線形変換
![$ F$](img2098.png)
は
と行列表示で書かれた線形変換
![$ \varphi$](img2211.png)
と等価である.
次に基底
に関する
表現行列
を求める.
すなわち,
は
をみたす.
基底
![$ \{1,\,\,x,\,\,x^2\}$](img1660.png)
から
![$ \{1+x, \,\,x+x^2, \,\,x^2\}$](img2273.png)
への
変換行列
![$ P$](img1064.png)
は
により与えられる.
このとき,多項式
![$ f(x)$](img396.png)
,
![$ g(x)$](img397.png)
は
となる.
(△), (▲)と(□), (■)とを比較すると
を得る.
これは基底
![$ \Sigma=\{1,\,\,x,\,\,x^2\}$](img1650.png)
における
座標
![$ (a_0,a_1,a_2)_{\Sigma}$](img2283.png)
と
基底
![$ \Sigma'=\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,x^2\}$](img1680.png)
における
座標
![$ (\tilde{a}_0,\tilde{a}_1,\tilde{a}_2)_{\Sigma'}$](img2284.png)
との座標変換を表す.
(♭), (□), (■)より
となるので,
![$ P\vec{\tilde{b}}=AP\vec{\tilde{a}}$](img2286.png)
となり,
を得る.
以上より基底
![$ \Sigma'=\{1+x,\,\,x+x^2,\,\,x^2\}$](img1680.png)
に関する
![$ F$](img2098.png)
の表現行列
![$ B$](img267.png)
は
と得られる.
よって,基底
![$ \Sigma'$](img1552.png)
に関する線形変換
![$ F$](img2098.png)
の行列表示は
となる.
Kondo Koichi
KONDO Koichi
平成19年1月25日