次元のベクトル空間 と
次元のベクトル空間 において,
基底をそれぞれ
,
とすると,
, の任意のベクトルはそれぞれ
と表される.
このとき,
線形写像 ;
は
となる.
ベクトル
,
, ,
は
のベクトルであるから,
基底
を用いて
と表されるので
★ |
|
と書ける.
以上より(▲), (☆), (★)より
を得る.
は
1 次独立であるから
♭ |
|
が成り立つ.
線形写像
により
線形写像
が定まる.
注意 4.26 (一般のベクトル空間における線形写像)
一般のベクトル空間における線形写像
と
数ベクトル空間における線形写像
とを
次のように同一視する:
定義 4.27 (線形写像の表現行列)
ベクトル空間
の基底を
とし,
ベクトル空間
の基底を
とする.
このとき,
線形写像
が
をみたすとき,
行列
を
の基底
と
の基底
に関する
表現行列という.
定理 4.28 (線形写像の行列表示)
線形写像
において,
ベクトル空間
の基底が
であり,
その基底における座標を
とし,
ベクトル空間
の基底が
であり,
その基底における座標を
とする.
このとき,
行列
が
の表現行列であることと,
が成り立つこととは,必要十分条件である.
注意 4.29 (表現行列)
,
とし,
の基底を標準基底
とし,
の基底を標準基底
とする.
このとき
,
となるから,
(♭)は
となる.
よって,
本節の表現行列の定義により定まる
と
前節の表現行列の定義により定まる
とは,
この条件のもとで一致する.
注意 4.30 (表現行列)
線形写像
の標準基底に
おける表現行列は
である.
定理 4.31 (基底を取り換えたときの表現行列)
線形写像
において
の基底
,
,
,
と
の基底
,
,
,
に
関する表現行列を
とする.
すなわち,
とする.
の基底
,
,
,
と
の基底
,
,
,
に
関する表現行列を
とする.
すなわち,
とする.
このとき
が成り立つ.
ここで
,
は基底の変換行列であり,
である.
(証明)
まず,
が成り立つ.また,
となる.よって,
であり
が成り立つ.
定理 4.32 (線形変換の表現行列の基底の取り替え)
ベクトル空間
の基底
,
,
における
線形変換
の表現行列を
とし,
基底
における
の表現行列を
とする.
また,基底
から
基底
への
基底の変換行列を
とする.
このとき
が成り立つ.
(証明)
まず,表現行列 , は定義より
をみたす.基底の変換行列
は
をみたす.
このとき
が成り立つので
となる.
よって
を得る.
例 4.33 (表現行列の基底の取り替えの具体例)
線形変換
;
☆ |
|
の表現行列を求める.
の基底を
とし,
多項式
,
を表すと
となる.
このとき(☆)より
となる.
ここで,
,
,
を(☆)に代入すると
それぞれ
,
,
となるので,
を得る.
は基底
に関する
の表現行列である.
これを代入すると
♭ |
|
となる.
(▲)と比較すると
が成立する.
よって,線形変換
は
と行列表示で書かれた線形変換
と等価である.
次に基底
に関する
表現行列 を求める.
すなわち, は
をみたす.
基底
から
への
変換行列
は
により与えられる.
このとき,多項式
,
は
となる.
(△), (▲)と(□), (■)とを比較すると
を得る.
これは基底
における
座標
と
基底
における
座標
との座標変換を表す.
(♭), (□), (■)より
となるので,
となり,
を得る.
以上より基底
に関する
の表現行列
は
と得られる.
よって,基底
に関する線形変換
の行列表示は
となる.
Kondo Koichi
KONDO Koichi
平成19年1月25日