5.24 演習 〜 テイラー展開

問 5.61 (テイラー級数)   関数 $f(x)$ に関して点 $x=0$ まわりでのテイラー級数を書け． このとき $x$ が収束する範囲も書くこと．
    (1)   $${f(x)=e^x}$$     (2)   $${f(x)=\sin x}$$     (3)   $${f(x)=\cos x}$$     (4)   $${f(x)=\log(1+x)}$$     (5)   $${f(x)=\frac{1}{1-x}}$$
    (6)   $${f(x)=\frac{1}{1+x^2}}$$     (7)   $${f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}}$$     (8)   $${f(x)=\cosh x}$$     (9)   $${f(x)=5x^4+2x^3-3x^2+4x-1}$$
    (10)   $${f(x)=3x^4+x^3-4x^2+2x-1}$$     (11)   $${f(x)=3x^5-4x^4+x^3-10x^2+3x-1}$$
    (12)   $${f(x)=e^{-x^2}}$$     (13)   $${f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$

問 5.62 (テイラー級数展開による近似)   関数(1) $f(x)=e^{-x}$ ， (2) $f(x)=\cos x$ の近似を考える．
(i) 関数 $f(x)$ を点 $x=0$ のまわりで点 $x$ について有限テイラー展開せよ．
(ii) 関数 $f(x)$ を原点の近くで多項式で近似せよ．0 次から $4$ 次の近似多項式 $\widetilde{f}_{0}(x)$ , $\widetilde{f}_{1}(x)$ , $\cdots$ , $\widetilde{f}_{4}(x)$ を求めよ．
(iii) 点 $x=1$ での近似多項式 $\widetilde{f}_{0}(x)$ , $\cdots$ , $\widetilde{f}_{4}(x)$ の誤差を評価せよ．
(iv) $x\geq0$ の範囲で近似多項式 $\widetilde{f}_{0}(x)$ , $\cdots$ , $\widetilde{f}_{4}(x)$ の誤差が$0.0001$ 未満となる $x$ の範囲を求めよ．

問 5.63 (合成によるテイラー展開の計算)   次の関数のマクローリン級数を求めよ． （注意：0 ではない最初の 4 項のみでよい．収束の範囲も特に書く必要なし．）
    (1)   $${f(x)=e^{-x^2}}$$     (2)   $${f(x)=\log{\frac{1+x}{1-x}}}$$     (3)   $${f(x)=\frac{1}{1-x-x^2}}$$     (4)   $${f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$
    (5)   $${f(x)=\cosh x}$$     (6)   $${f(x)=\frac{1}{(1-x)^2}}$$     (7)   $${f(x)=\mathrm{Sin}^{-1}x}$$     (8)   $${f(x)=e^{\alpha\,x}}$$     (9)   $${f(x)=\cos(-x^2)}$$
    (10)   $${f(x)=\sqrt{1-x^2}}$$

問 5.64 (項別微分)   関数 $f(x)=\log(1+x)$ のマクローリン級数の項別微分が 関数 $${g(x)=\frac{1}{1+x}}$$ のマクローリン級数に等しいことを示せ．

問 5.65 (テイラー展開とグラフの形)   関数 $${f(x)=xe^{-x^2}}$$ について (i)$f(x)$ が増加の状態，減少の状態となる$x$ の範囲を求めよ．
(ii)$f(x)$ が極大値，極小値，変曲点をとる$x$ の点を求めよ． (iii)$f(x)$ のグラフの概形を描け．

問 5.66 (テイラー展開を用いた極限の計算)   次の極限をテイラー級数展開を用いて求めよ．
    (1)   $${\lim_{x \to 0}\frac{\log (1+x)-\sin x}{x^2}}$$     (2)   $${\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2}-x\right)}$$     (3)   $${\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}}$$     (4)   $${\lim_{x\to0}\frac{1-e^x}{x}}$$
    (5)   $${\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}}$$     (6)   $${\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+x^2}-x\right)}$$

平成19年10月3日