6.5 部分積分法

定理 6.18 (部分積分法)

$\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx$

これを部分積分法（integration by parts）という．

（証明）関数を微分すると積の微分公式より

$\displaystyle (f(x)g(x))'$

$\displaystyle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

を得る．これを両辺をで積分すると

$\displaystyle f(x)g(x)= \int(f(x)g(x))'\,dx$

$\displaystyle = \int f'(x)g(x)\,dx+ \int f(x)g'(x)\,dx$

となる．移項すると証明終了．

例 6.19 (部分積分法の使用例)

$\displaystyle I$	$\displaystyle = \int\log x\,dx= \int\log x(x)'\,dx= x\log x-\int(\log x)'x\,dx$
	$\displaystyle = x\log x-\int\frac{1}{x}x\,dx= x\log x-\int dx= x\log x-x+C\,.$

例 6.20 (部分積分法の使用例)

$\displaystyle I$	$\displaystyle = \int x\sin x\,dx= \int x(-\cos x)'\,dx= -x\cos x+\int (x)'\cos x\,dx$
	$\displaystyle = -x\cos x+\int\cos x\,dx= -x\cos x+\sin x+C\,.$

例 6.21 (部分積分法の使用例)

$\displaystyle I$	$\displaystyle = \int x^2\sin x\,dx= \int x^2(-\cos x)'\,dx= -x^2\cos x+\int (x^2)'\cos x\,dx$
	$\displaystyle = -x^2\cos x+\int 2x\,\cos x\,dx= -x^2\cos x+2\int x(\sin x)'\,dx$
	$\displaystyle = -x^2\cos x+2x\sin x-2\int\sin x\,dx= -x^2\cos x+2x\sin x+2\cos+C$
	$\displaystyle = 2x\sin x+(2-x^2)\cos+C\,.$

例 6.22 (部分積分法の使用例)

	$\displaystyle I=\int\sqrt{a^2-x^2}dx= \int x'\sqrt{a^2-x^2}dx= x\sqrt{a^2-x^2}+ \int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$
	$\displaystyle = x\sqrt{a^2-x^2}+ \int\frac{(x^2-a^2)+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= x\sqrt{a^2-x^2}- \int\sqrt{a^2-x^2}dx+ a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$
	$\displaystyle = x\sqrt{a^2-x^2}-I+ \int\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}}\left(\frac{x}{a}\right)'dx= x\sqrt{a^2-x^2}-I+\mathrm{Sin}^{-1}\frac{x}{a}+C$

より，

$\displaystyle 2I=\sqrt{a^2-x^2}+\mathrm{Sin}^{-1}\frac{x}{a}$

であり，

$\displaystyle I=\frac{1}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{1}{2}\mathrm{Sin}^{-1}\frac{x}{a}+C$

を得る．

例 6.23 (部分積分法の使用例) 不定積分

$\displaystyle I=\int e^{ax}\sin bx\,dx,\qquad J=\int e^{ax}\cos bx\,dx$

を求める．部分積分より

	$\displaystyle I=\frac{1}{a}\int(e^{ax})'\sin bx\,dx= \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx- \frac{b}{a}\int e^{ax}\cos bx\,dx= \frac{1}{a}e^{ax}\sin bx- \frac{b}{a}J,$
	$\displaystyle J=\frac{1}{a}\int(e^{ax})'\cos bx\,dx= \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx+ \frac{b}{a}\int e^{ax}\sin bx\,dx= \frac{1}{a}e^{ax}\cos bx+ \frac{b}{a}I$

が成り立つ．これは

	$\displaystyle aI+bJ=a^{ax}\sin bx,$
	$\displaystyle bI-aJ=-a^{ax}\cos bx$

と書ける．よって，

	$\displaystyle I=\frac{1}{a^2+b^2}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx),$
	$\displaystyle J=\frac{1}{a^2+b^2}e^{ax}(a\sin bx+b\cos bx)$

を得る．

例 6.24 (漸化式による不定積分の求積) 不定積分

$\displaystyle I_{n}$

$\displaystyle = \int\cos^{n}x\,dx\,, \qquad J_{n}= \int\sin^{n}x\,dx\,,\qquad n=0,1,2,\cdots$

を考える．のとき

$\displaystyle I_{0}$

$\displaystyle = \int\,dx=x+C\,, \qquad J_{0}= \int\,dx=x+C\,$

を得る．のとき

$\displaystyle I_{1}$

$\displaystyle = \int\cos x\,dx=\sin x+C\,, \qquad J_{1}= \int\sin x\,dx=-\cos x+C$

を得る． $n\ge2$ のときを考える． $I_{n}$ を部分積分を用いて計算すると

$\displaystyle I_{n}$	$\displaystyle = \int\cos^{n}x\,dx= \int\cos^{n-1}x\,\cos x\,dx= \int\cos^{n-1}x\,(\sin x)'\,dx$
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x- \int(n-1)\cos^{n-2}x\,(-\sin x)\,\sin x\,dx$
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+ (n-1) \int\cos^{n-2}x\,\sin^2 x\,dx$
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+ (n-1) \int\cos^{n-2}x\,(1-\cos^2x)\,dx$
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+ (n-1) \left\{ \int\cos^{n-2}x\,dx- \int\cos^{n}x\,dx\right\}$
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)(I_{n-2}-I_{n})$
	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$

となる． $I_{n}$ を移項すると

$\displaystyle (1+(n-1))I_{n}$	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)I_{n-2}$
$\displaystyle n\,I_{n}$	$\displaystyle = \cos^{n-1}x\,\sin x+(n-1)I_{n-2}$
$\displaystyle I_{n}$	$\displaystyle = \frac{1}{n}\cos^{n-1}x\,\sin x+\left(1-\frac{1}{n}\right)I_{n-2}$