6.15 定積分の置換積分

定理 6.74 (置換積分)   積分変数を $ x=\phi(t)$ と置き換えると定積分は

$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx= \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f(\phi(t))\phi'(t)\,dt= \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)}f(\phi(t))\frac{dx}{dt}dt$    

と表される.

6.75 (置換積分の計算例)  

$\displaystyle \int_{0}^{1}(1-x)^{\alpha}\,dx= \frac{1}{\alpha+1}\,. \qquad (\alpha>0)$    

6.76 (置換積分の計算例)  

$\displaystyle \int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx= \frac{\pi}{4}a^2\,.$    

6.77 (置換積分の計算例)  

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\sin^2 x}\,dx= \int_{0}^{1}\frac{\frac{dt}{dx}}{1+t^2} \frac{dx}{dt}dt= \int_{0}^{1}\frac{dt}{1+t^2}$    
  $\displaystyle = \Big[\mathrm{Tan}^{-1} x\Big]_{0}^{1}= \mathrm{Tan}^{-1}(1)-\mathrm{Tan}^{-1}(0)= \frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}\,.$    

ここで $ t=\sin x$ とおいた.このとき

$\displaystyle \frac{dt}{dx}=\cos x\,,\quad \frac{dx}{dt}=\left(\frac{dt}{dx}\right)^{-1}= \frac{1}{\cos x}$    

であることを用いた. また積分区間は $ \displaystyle{0\leq x\leq \frac{\pi}{2}}$ から $ \displaystyle{0=\sin(0)\leq t\leq 1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}$ へと変わる.

6.78 (双曲線関数を用いた定積分)   定積分

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int_{-4}^{-2} \sqrt{x^2-1}\,dx$    

を考える. 積分区間が $ x: -4\to-2$ であるから $ x<0$ である. このことに注意して変数変換を

  $\displaystyle x=-\cosh t<0\qquad\left(0<t=\mathrm{Cosh}^{-1}(-x)\right)$    

とする.このとき積分区間は

$\displaystyle t: \mathrm{Cosh}^{-1}(4)\to\mathrm{Cosh}^{-1}(2)$    

となる.また

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\sinh t$    

であることを用いると

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int_{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}^{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sqrt{\cosh^2t-1}(-\sinh t)\,dt$    
     (積分区間をひっくり返す. $ \cosh^2t-\sinh^2t=1$ を用いて.)    
  $\displaystyle = -\int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh t \...
...t^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh t \vert\sinh t\vert\,dt$    
     ( $ \mathrm{Cosh}^{-1}(2)\leq t\leq\mathrm{Cosh}^{-1}(4)$ のとき $ \sinh t>0$ より.)    
  $\displaystyle = \int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)} \sinh^2 t\,dt$    
     ( $ \sinh^2t=(\cosh 2t-1)/2$ を用いて.)    
  $\displaystyle = \frac{1}{2} \int^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)...
... \frac{1}{2}\sinh(2t)-t \right]^{\mathrm{Cosh}^{-1}(4)}_{\mathrm{Cosh}^{-1}(2)}$    
  $\displaystyle = \frac{1}{4}\sinh(2\,\mathrm{Cosh}^{-1}(4))- \frac{1}{4}\sinh(2\...
...h}^{-1}(2))- \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(4)+ \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(2)$    

となる.ここで

$\displaystyle \mathrm{Cosh}^{-1}(x)= \log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$    

であることを用いる.このとき

  $\displaystyle \sinh(2\mathrm{Cosh}^{-1}(x))= \frac{1}{2}\left( e^{2\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}- e^{-2\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right)$    
  $\displaystyle = \frac{1}{2}\left(\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2- \left(\frac{1}{...
...rac{1}{x-\sqrt{x^2-1}}\right)^2- \left(\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}\right)^2\right)$    
  $\displaystyle = \frac{2x\sqrt{x^2-1}} {\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)^2\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^2}= 2x\sqrt{x^2-1}$    

より

$\displaystyle \frac{1}{4}\sinh(2\mathrm{Cosh}^{-1}(4))-\frac{1}{4}\sinh(2\mathrm{Cosh}^{-1}(2))$ $\displaystyle = \frac{2\times4}{4}\sqrt{4^2-1}-\frac{2\times2}{4}\sqrt{2^2-1}$    
  $\displaystyle =2\sqrt{15}-\sqrt{3}$    

となる.また

  $\displaystyle -\frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(4)+ \frac{1}{2}\mathrm{Cosh}^{-1}(...
...}{2}\log\left(4+\sqrt{4^2-1}\right) +\frac{1}{2}\log\left(2+\sqrt{2^2-1}\right)$    
  $\displaystyle =-\frac{1}{2}\log\frac{4+\sqrt{15}}{2+\sqrt{3}}= -\frac{1}{2}\log\frac{2-\sqrt{3}}{4-\sqrt{15}}$    

である.よって

$\displaystyle I$ $\displaystyle =2\sqrt{15}-\sqrt{3}-\frac{1}{2}\log\frac{2-\sqrt{3}}{4-\sqrt{15}}$    
  $\displaystyle =2\sqrt{15}-\sqrt{3}-\frac{1}{2}\log\left( 8+2\sqrt{15}-4\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)$    

を得る.

6.79 (双曲線関数を用いた定積分)   定積分

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \int_{-4}^{-2} \sqrt{x^2-1}\,dx$    

を求める.

$\displaystyle \sqrt{x^2-1}=x-t$    

とおく.すると,

$\displaystyle I$ $\displaystyle = \frac{1}{4} \int_{\alpha}^{\beta}\left( t-\frac{2}{t}+\frac{1}{...
...ac{1}{4} \left[ \frac{t^2}{2}- 2\log t- \frac{1}{2t^2} \right]_{\alpha}^{\beta}$    
  $\displaystyle = \frac{\beta^2-\alpha^2}{8}- \frac{1}{8}\left( \frac{1}{\beta^2}-\frac{1}{\alpha^2} \right)- \frac{1}{2} \log\left( \frac{\beta}{\alpha} \right)$    

となる.ここで,

$\displaystyle \alpha=-4+\sqrt{15}, \qquad \beta=-2+\sqrt{3}$    

である.これらを代入すると

$\displaystyle I$ $\displaystyle =2\sqrt{15}-\sqrt{3}-\frac{1}{2}\log\frac{2-\sqrt{3}}{4-\sqrt{15}}$    
  $\displaystyle =2\sqrt{15}-\sqrt{3}-\frac{1}{2}\log\left( 8+2\sqrt{15}-4\sqrt{3}-3\sqrt{5}\right)$    

を得る.


平成19年10月3日