2.34 自然対数の底の公式を用いた極限の計算

公式 2.124 (ネピア数)  

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\,.$    

2.125 (関数の極限の計算例)  

  $\displaystyle \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}= \lim_{x\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{x/2}\right)^{x/2}\right)^2$   ($ t=x/2$ とおく)    
  $\displaystyle =\lim_{t\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right)^2 =(e)^2=e^2\,.$    

2.126 (関数の極限の計算例)  

  $\displaystyle \lim_{x\to+0} \frac{\log(1+x)}{x}= \lim_{x\to+0} \frac{1}{x}\log(1+x) = \lim_{x\to+0} \log(1+x)^{\frac{1}{x}}$   ($ t=1/x$ とおく)    
  $\displaystyle = \lim_{t\to+\infty} \log\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t} = \log e=1\,.$    

2.127 (関数の極限の計算例)  

  $\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{x}$   ($ t=e^x-1$ とおく)    
  $\displaystyle = \lim_{t\to0} \frac{t}{\log(t+1)}= \lim_{t\to0} \left(\frac{1}{t}\log(t+1)\right)^{-1}= \lim_{t\to0} \left(\log(1+t)^{\frac{1}{t}}\right)^{-1}$   ($ z=1/t$ とおく)    
  $\displaystyle = \lim_{z\to\infty} \left(\log\left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}\right)^{-1} = \left(\log e\right)^{-1} = 1^{-1}=1\,.$    

2.128 (関数の極限の計算例)  

$\displaystyle \lim_{x\to+0}x^x=1\,.$    


(証明)     $ y=x^x$ とおく. さらに $ Y=\log y=\log x^x=x\log x$ とおくと,$ y=e^Y$ と書ける. このとき,

  $\displaystyle \lim_{x\to+0}Y= \lim_{x\to+0}x\log x$   ($ t=1/x$ とおく)    
  $\displaystyle = \lim_{t\to+\infty}\frac{1}{t}\log\frac{1}{t}= \lim_{t\to+\infty}\frac{\log t^{-1}}{t}= -\lim_{t\to+\infty}\frac{\log t}{t}=0\ $    

であるから,

$\displaystyle \lim_{x\to+0}x^x= \lim_{x\to+0}y= \lim_{Y\to-0}e^{Y}= e^{0}=1$    

を得る.


平成19年10月3日