3.2 導関数

定義 3.7 (導関数)   関数 $y=f(x)$ が連続関数であり， 定義域内の任意の点において微分可能であるとする． このとき関数

$$f'(x)= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

が存在する． $f'(x)$ を $f(x)$ の 導関数（derived function, derivative）と呼ぶ． 導関数はまた

$$\frac{d}{dx}y\,,\quad \frac{dy}{dx}\,,\quad y'\,,\quad f'(x)\,,\quad \frac{d}{dx}f(x)\,,\quad \frac{df(x)}{dx}\,$$

という表記も用いる．

例 3.8 (導関数の計算例)   関数 $f(x)=x^2$ の導関数を求める． まず

$$g(x,h)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

とおく．$g(x,h)$ を計算すると

$$g(x,h)= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2hx+h^2}{h}=2x+h$$

を得る． これより

$$f'(x)=\lim_{h\to0}g(x,h)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$$

となる． 極限 $f'(x)$ は $-\infty<x<\infty$ の任意の点において有限確定である． よって導関数 $f'(x)$ が存在し $f'(x)=2x$ が求まる．

平成19年10月3日