3.5 自然数べきのべき関数の微分

問 3.15 これを示せ．

（証明） $y=f(x)=x^{n}$ とおき定義に従い計算すると，

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}$

を得る．ここで

$\displaystyle (x+h)^n$	$\displaystyle = \sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k}$
	$\displaystyle = x^n+n\,x^{n-1}h+\frac{1}{2}n(n-1)\,x^{n-2}h^2+\cdots+n\,xh^{n-1}+h^{n}$
	$\displaystyle =x^{n}+n\,x^{n-1}h+h^2\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k-2}$

であることを用いると

$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \frac{(x+h)^n-x^n}{h}= n\,x^{n-1}+h\left\{\sum_{k=2}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\,x^{n-k}h^{k-2}\right\}$

となる． $h\to0$ のとき $n\,x^{n-1}$ の項は生き残り，その後ろの項は消える．よって

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= n\,x^{n-1}$

を得る．