3.12 逆三角関数の微分

問 3.28 これを示せ．

（証明） $y=f(x)=\mathrm{Sin}^{-1}(x)$ とおく．主値を考えているので値域は

$\displaystyle -\frac{\pi}{2}\leq y\leq \frac{\pi}{2}$

である．このときの逆関数とその微分は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\sin(y)\,,\qquad \frac{dx}{dy}=\left(\sin(y)\right)'=\cos(y)$

である．ここで $\cos(y)$ をの関数で表すことを考える． $\cos^2(y)+\sin^2(y)=1$ と $x=\sin(y)$ より

$\displaystyle \cos(y)=\pm\sqrt{1-\sin^2(y)}=\pm\sqrt{1-x^2}$

となる．符号を片方のみ採用する． $-\pi/2\leq y\leq \pi/2$ より $\cos y\geq0$ となるので，上式の右辺も 0 以上でなければならない．よって

$\displaystyle \cos y=\sqrt{1-x^2}$

である．以上より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{\cos(y)}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

を得る．

次に $y=f(x)=\mathrm{Cos}^{-1}(x)$ $(0\leq y\leq\pi)$ とおく．この逆関数とその微分は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\cos(y)\,,\qquad \frac{dx}{dy}=-\sin(y)$

である．主値 $0\leq y\leq\pi$ に注意して $\sin(y)$ をの関数で表わすと

$\displaystyle \sin(y)=\sqrt{1-\cos(y)}=\sqrt{1-x^2}$

である．ここで $\sin(y)\geq0\ (0\leq y\leq\pi)$ を用いた．以上より

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)=\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{-\sin(y)}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

を得る．

最後に $y=f(x)=\mathrm{Tan}^{-1}(x)$ を考える．この逆関数とその微分は

$\displaystyle x$	$\displaystyle =f^{-1}(y)=\tan y\,,$
$\displaystyle \frac{dx}{dy}$	$\displaystyle = \frac{1}{\cos^2y}= \frac{\cos^2y+\sin^2y}{\cos^2y}= 1+\tan^2y=1+x^2$

となる．これより

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)=\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\quad}= \frac{1}{1+x^2}$

を得る．

$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\mathrm{Sin}^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\mathrm{Cos}^{-1} x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\,$
$\displaystyle \frac{d}{dx}\,\mathrm{Tan}^{-1} x=\frac{1}{1+x^2}\,$