3.19 演習 〜 微分

問 3.55 (微分係数)   点 $x=a$ における関数 $f(x)$ の微分係数 $f'(a)$ の定義を述べよ．

問 3.56 (微分可能)   次の関数について(i) 関数 $f(x)$ のグラフを描け． (ii) $f(x)$ の微分不可能な点を述べよ． また，この点における右微分係数，左微分係数を求めよ． (iii) 微分可能な範囲で導関数 $f'(x)$ を求めよ． (iv) $f'(x)$ のグラフを描け．
    (1)   $${f(x)= \left\vert x-x^2 \right\vert}$$     (2)   $${f(x)= \left\vert \log x \right\vert}$$ $(x>0)$     (3)   $f(x)=\vert x-1\vert$

問 3.57 (初等関数の導関数)   次の関数の導関数を書け．
    (1)   $f(x)=c\quad($$c$：定数$)$     (2)   $f(x)=x^{n}\quad(n\in\mathbb{N})$     (3)   $f(x)=\sqrt[n]{x}\quad(n\in\mathbb{N})$
    (4)   $f(x)=\log_a x$     (5)   $f(x)=e^{x}$     (6)   $f(x)=a^{x}\quad(a>0)$     (7)   $f(x)=\frac{1}{x^{n}}\quad(n\in\mathbb{N})$
    (8)   $f(x)=x^{\alpha}\quad(\alpha\in\mathbb{R})$     (9)   $f(x)=\log x$     (10)   $f(x)=\sin x$     (11)   $f(x)=\cos x$
    (12)   $f(x)=\tan x$     (13)   $f(x)=\mathrm{Sin}^{-1} x$     (14)   $f(x)=\mathrm{Cos}^{-1} x$     (15)   $f(x)=\mathrm{Tan}^{-1} x$
    (16)   $f(x)=\sinh x$     (17)   $f(x)=\cosh x$     (18)   $f(x)=\tanh x$     (19)   $f(x)=\sinh^{-1} x$
    (20)   $f(x)=\tanh^{-1} x$     (21)   $f(x)=\mathrm{Cosh}^{-1} x$

問 3.58 (導関数の導出)   次の関数の導関数を導出せよ．
    (1)   $${f(x)=\cos x}$$     (2)   $${f(x)=\mathrm{Cos}^{-1} x}$$     (3)   $${f(x)=\cosh x}$$     (4)   $${f(x)=c\quad(c: \text{定数})}$$
    (5)   $${f(x)=x^{n}\quad(n\in\mathbb{N})}$$     (6)   $${f(x)=\mathrm{Cosh}^{-1} x}$$     (7)   $${f(x)=\tan x}$$     (8)   $${f(x)=\tanh x}$$
    (9)   $${f(x)=e^{x}}$$ ただし， $(\log x)'=1/x$ が導出させているとして議論せよ．

問 3.59 (導関数の導出)   $${\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}}$$      $(n=1,2,3, \cdots)$ が成り立つことを示せ．

問 3.60 (導関数の導出)   次を示せ．
    (1)   $${\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}}$$     (2)   $${\frac{d}{dx}\cos x = - \sin x}$$     (3)   $${\frac{d}{dx}\mathrm{Cos}^{-1}x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}}$$     (4)   $${\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x}$$

問 3.61 (微分の性質)   $${(\alpha\,f(x)+\beta\,g(x))'=\alpha\,f'(x)+\beta\,g'(x)}$$ を証明せよ．

問 3.62 (微分の計算)   次の関数の導関数を求めよ．
    (1)   $${f(x)=(x-2)^2(x+2)}$$     (2)   $${f(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-2)^2}}$$     (3)   $${f(x)=\sin x^2}$$
    (4)   $${f(x)=\exp\left(-\left(\frac{x-2}{5}\right)^2\right)}$$     (5)   $${f(x)=\frac{1}{x^2}+x^5-e^x+3}$$     (6)   $${f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}$$
    (7)   $${f(x)=4x^{\frac{1}{2}}+3x^{\frac{1}{3}}-2x^{\frac{3}{2}}}$$     (8)   $${f(x)=(x^3+2x+1)^4}$$     (9)   $${f(x)=\sqrt{x^2+8x+1}}$$
    (10)   $${f(x)=\sqrt{1+2\log x}}$$     (11)   $${f(x)=\sqrt[\leftroot{2} \uproot{2} 3]{\frac{x+2}{x^2+1}}}$$     (12)   $${f(x)=\log\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}}$$
    (13)   $${f(x)=\log \left( x+ \sqrt{x^2 +1} \right) }$$     (14)   $${f(x)=x^{x}}$$     $(x>0)$     (15)   $${f(x)=\exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{\sqrt{\sigma}}\right)}$$
    (16)   $${f(x)=x^2\sin 2x}$$     (17)   $${f(x)=\frac{\sin x}{x^2+2} }$$     (18)   $${f(x)=\sin(2x^2-3x)}$$     (19)   $${f(x)=\cos(2x+3x^2)}$$
    (20)   $${f(x)=\cos^3 x}$$     (21)   $${f(x)=3\cos 4x+2\sin 2x}$$     (22)   $${f(x)=\mathrm{Sin}^{-1} \sqrt{x}}$$
    (23)   $${f(x)=x\sqrt{1-x^2}+\mathrm{Sin}^{-1} x}$$     (24)   $${f(x)=\exp(\mathrm{Tan}^{-1} x)}$$     (25)   $${\cos^{-1} x^2}$$     (26)   $${\tan^{-1}\left(\frac{2}{x}\right)}$$
    (27)   $${f(x)=\sin^3 4x}$$     (28)   $${f(x)=x^2\cos 2x}$$     (29)   $${f(x)=\left(\log x\right)^x}$$
    (30)   $${f(x)=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\mathrm{Sin}^{-1}\frac{x}{a}\right)}$$

問 3.63 (高階導関数)   次の関数の高階導関数を求めよ．
    (1)   $${f(x)=\sqrt{x}}$$     (2)   $${f(x)=\sqrt{1-x}}$$     (3)   $${f(x)=e^{2x}}$$     (4)   $${f(x)=e^{-2x}}$$     (5)   $${f(x)=\cos x}$$
    (6)   $${f(x)=\sin x}$$     (7)   $${f(x)=x^{n}\quad(n\in\mathbb{N})}$$     (8)   $${f(x)=\log \left\vert x \right\vert}$$

問 3.64 (高階導関数)   関数 $f(x)=\log\vert x\vert$ について $3$ 階までの 導関数を求め，それぞれのグラフを描け．

問 3.65 (接線)   次の関数について (i) $f(x)$ のグラフを書け． (ii) $x=a$ における接線の方程式を求めよ． (iii) 接線のグラフを書け．
    (1)   $f(x)=x^2+2x-3$ , $a=2$ ,     (2)   $${f(x)=\log(x^2+1)}$$ , $a=1$ ,     (3)   $f(x)=x\,\log x$ , $a=e$
    (4)   $f(x)=\tan \left( 2x-\dfrac{\pi}{2} \right)$ , $a=\dfrac{\pi}{3}$     (5)   $f(x)=e^x \cosh x$ , $a=\pi$
    (6)   $${f(x)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)}$$ , $${a=\frac{\pi}{3}}$$

問 3.66 (接線)   関数 $y=f(x)=\log(x^2+1)$ について (i) 点 $x=0$ , $\sqrt{e-1}$ における接線 $l_1$ , $l_2$ の方程式を書け． (ii) $l_1$ と $l_2$ の交点を求めよ． (iii) 関数 $y=f(x)$ , 接線 $l_1$ , $l_2$ のグラフを同一のグラフ上に描け．

問 3.67 (なめらかさ)   次の関数が$C^n$ 級の関数であるか不連続関数であるか答えよ．
    (1)   $${f(x)=3x^4+2x^2+4x+5}$$     (2)   $${f(x)=2x^3+3x+5}$$     (3)   $${f(x)=\left\vert x^3\right\vert}$$     (4)   $${f(x)=\mathrm{Tan}^{-1}x}$$
    (5)   $${f(x)= \left\{\begin{array}{cc} -x^2 & (x \geq 0)\\ x^2 & (x \leq 0)\end{array}\right.}$$     (6)   $${f(x)= \left\{\begin{array}{cc} -x^3 & (x < 0)\\ x^2 & (x \geq 0)\end{array}\right.}$$     (7)   $${f(x)= \left\{\begin{array}{cc} 0 & (x < 0)\\ 1 & (x \geq 0)\end{array}\right.}$$
    (8)   $${f(x)= \left\{\begin{array}{cc} \displaystyle{\frac{\sin x}{x}(x\not=0)}\\ 1\quad(x = 0)\end{array}\right.}$$

平成19年10月3日