4.7 等比数列の極限

例 4.23 (等比数列の極限)   等比数列 $a_{n}=r^{n}\ (r>0)$ の極限を考える． (i) $r>1$ , (ii) $r=1$ , (iii) $r>1$ の場合に分けて議論する． まず，(i) $r=1$ のとき，常に $a_{n}=1$ である．極限は $1$ である． つぎに，(iii) $r>1$ のとき， $r=1+h\ (h>0)$ とおく．このとき $r>1$ をみたす． $a_{n}$ を $h$ を用いて書き下すと

$$a_{n} =(1+h)^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}h^k$$

を得る．ここで $\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}$ は 二項係数（binomial coefficient）であり，

$$\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} =\frac{n!}{(n-k)!k!}$$

と定義する． $n!$ は階乗（fractorial number）であり，

$$n!=n\times(n-1)!\,, \qquad 0!=1$$

と再帰的に定義する． $a_{n}$ をあらためて書き直すと

$$a_{n} = (1+nh)+\left(\frac{n(n-1)}{2}\,h^2+ \cdots+n\,h^{n-1}+h^n\right)$$

となる． 第三項以降を足したものは正となるので，

$$a_{n}>1+nh$$

を得る． $n\to\infty$ のとき $1+nh\to\infty$ より $a_{n}\to\infty$ を得る． 最後に，(i) $r<1$ のときを考える． $h>0$ を用いて $r$ を $r=1/(1+h)$ と置き換える． このとき $r<1$ をみたす． $h$ を用いて $a_{n}$ を書き下すと，

$$a_{n} =\frac{1}{(1+h)^n}= \frac{1}{(1+nh)+\left(\frac{n(n-1)}{2}\,h^2+\cdots+h^n\right)} <\frac{1}{1+nh}$$

を得る． 不等式

$$0<a_{n}<\frac{1}{1+nh}$$

が成立する． $n\to\infty$ のとき $1/(1+nh)\to0$ であるから， はさみうちの定理より $a_{n}\to 0$ を得る． 以上をまとめると

$$\lim_{n\to\infty} a_{n}=\lim_{n\to\infty} r^{n}= \left\{ \begin{array}{cc} 0 & (r<1)\\ [1em] 1 & (r=1)\\ [1em] \infty & (r>1) \end{array} \right.$$

が求まる．

問 4.24 (極限の計算)   次の漸化式で与えられる数列の一般項と極限を求めよ．

(1)

$a_{n+1}=p\,a_{n}+q$ .

(2)

$a_{n+2}=2p\,a_{n+1}+q\,a_{n}$ .

(答え) (1)

$$a_{n} = \left\{\begin{array}{lc} \displaystyle{ p^{n-1}\left(a_{1}-\fra... ...ht)} & (p\neq1) \\ [1em] \displaystyle{(n-1)q+a_{1}} & (p=1) \end{array}\right.$$

$$\lim_{n\to\infty}a_{n}= \left\{ \begin{array}{lc} \infty & (\vert p\vert\geq1) \\ [1em] 0 & (\vert p\vert<1) \end{array} \right.$$

(2)

$$a_{n}=c_{1}\,\lambda_{1}^{n-1}+c_{2}\,\lambda_{2}^{n-1}$$

$$\lambda_{1}=p+\sqrt{p^2+q}\,,\qquad \lambda_{2}=p-\sqrt{p^2+q}\,,$$

$$c_{1}=\frac{a_{1}\lambda_{2}-a_{2}}{-2\sqrt{p^2+q}}\,,\quad c_{2}=\frac{a_{2}-a_{1}\lambda_{1}}{-2\sqrt{p^2+q}}$$

$\vert\lambda_{1}\vert<1$ かつ $\vert\lambda_{2}\vert<1$ のとき $a_{n}$ は 0 に収束する． それ以外は発散する．

平成19年10月3日