2.5 多変数関数の微分
1 変数関数
において,
から
への
の増分は
である. このとき,平面内の 2 点
,
を 通る直線の傾きは
となる.
における
の微係数は, 2 点を近づけたときの 傾き
の極限
である. このときは, 右から近づける
と 左から近づける
の両方を 含むことに注意する.
一方,2 変数関数
においては, 定義域
内の点
から 点
への
の増分
を考える. このとき空間内の 2 点
,
(
とおく)を通る直線の傾きは
となる. ただし,は点
,
間の 距離
である. 点
を点
に近づけたときの 傾き
の極限を考える. 点
を点
へ近づけるとき, 近づける方向は
軸や
軸に沿った方向だけでなく, 全方向から近づけなければならない.
- (i).
- 全方向
から近づけたとき, 傾き
の極限が 存在すれば,
は全微分可能であるという.
- (ii).
軸に沿って
,
(
)と近づけたとき, 傾きの極限
が存在すれば,は
に関して偏微分可能であるという.
- (iii).
軸に沿って
,
(
)と近づけたとき, 傾きの極限
が存在すれば,は
に関して偏微分可能であるという.
平成20年2月2日