1.1 $\mathbb{R}^n$ の直線

定義 1.1 (位置ベクトル)   $\mathbb{R}^n$ の空間の点 $P(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ に対して， 列ベクトル

$$\overrightarrow{OP}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}=\vec{x}$$

を点 $P$ の位置ベクトル（position vector）という． 点 $P$ とベクトル $\vec{x}$ を同一視する．

定義 1.2 (直線)   $\mathbb{R}^n$ の点 $\vec{x}$ がパラメータ $t\in\mathbb{R}$ を用いて

$$\vec{x}=\vec{x}(t)=\vec{x}_0+t\vec{p}$$

と表されるとする． このとき点 $\vec{x}(t)$ の軌跡を直線（line）という． $\vec{p}$ を方向ベクトル（direction vector）という．

定理 1.3 (内分点)   $\mathbb{R}^n$ の点 $\vec{a}$, $\vec{b}$ を通る直線をむすび， その直線上の点で 点 $\vec{a}$, $\vec{b}$ からの 距離の比が $t:1-t$ となる点 $\vec{c}$ は

$$\vec{c}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$$

で与えられる． $0<t<1$ のとき点 $\vec{c}$ を 点$\vec{a}$, $\vec{b}$ の 内分点（internally dividing point）といい， $t<0$, $1<t$ のとき 外分点（externally dividing point）という．

定義 1.4 (直線)   $\mathbb{R}^n$ の点 $\vec{x}$ がパラメータ $t,s\in\mathbb{R}$ を用いて

$$\vec{x}=\vec{x}(t)=\vec{x}_0+t\vec{p}+s\vec{q}$$

と表されるとする． このとき点 $\vec{x}(t)$ の軌跡を平面（plane）という．

平成20年2月2日