2.31 ライプニッツ則

定理 2.134 (ライプニッツ則) 1 変数関数 , の積の回微分は

$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}\left(f(x)g(x)\right)= \sum_{k=1}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} \frac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}}\frac{d^kg}{dx^k}$

で与えられる．これをライプニッツ則（Leibnitz rule）という．

（証明）積を微分すると

$\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)g(x)$	$\displaystyle = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)= \frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}$
	$\displaystyle = \lim_{y\to x} \frac{df(x)}{dx}g(y)+f(x)\frac{dg(y)}{dy} = \lim_... ...left( \frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partial}{\partial y} \right) f(x)g(y)$

と表される．よって回微分は

$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f(x)g(x)$	$\displaystyle = \lim_{y\to x} \left( \frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partia... ...frac{\partial^{n-k}}{\partial x^{n-k}} \frac{\partial^k}{\partial y^k} f(x)g(y)$
	$\displaystyle = \lim_{y\to x} \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix... ...\frac{\partial^{n-k}f(x)}{\partial x^{n-k}} \frac{\partial^kg(x)}{\partial x^k}$

となる．

例 2.135 (積の微分)

	$\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)g(x)=f'g+gf',$
	$\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}f(x)g(x)= f''g+2f'g'+fg'',$
	$\displaystyle \frac{d^3}{dx^3}f(x)g(x)= f'''g+3f''g'+3f'g''+g''',$
	$\displaystyle \frac{d^4}{dx^4}f(x)g(x)= f^{(4)}g+4f'''g'+6f''g''+4f'g'''+g^{(4)}$