4.21 演習問題 〜 余因子行列，クラメルの公式

問 4.115 (余因子行列)   次の行列の逆行列を余因子行列を用いて求めよ．
    (1)   $\begin{bmatrix} 3\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2 \end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!1 \\ [-0.5ex] -5\! & \!-4 \end{bmatrix}$     (3)   $\begin{bmatrix} \cos\theta\! & \!-\sin\theta \\ [-0.5ex] \sin\theta\! & \!\cos\theta \end{bmatrix}$     (4)   $\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1\! & \!-\sqrt{3} \\ [-0.5ex] \sqrt{3}\! & \!1 \end{bmatrix}$     (5)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!1\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 4\! & 1\! & \!5 \end{bmatrix}$
    (6)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!-2\! & \!2 \\ [-0.5ex] 4\! & \!1\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 2\! & -1\! & \!3 \end{bmatrix}$     (7)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!4\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!-2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & 5\! & \!-1 \end{bmatrix}$     (8)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!-1\! & \!-2 \\ [-0.5ex] -1\! & \!0\! & \!3 \\ [-0.5ex] 3\! & -2\! & \!5 \end{bmatrix}$     (9)   $\begin{bmatrix} a\! & \!0\! & \!0 \\ [-0.5ex] d\! & \!b\! & \!0 \\ [-0.5ex] e\! & f\! & \!c \end{bmatrix}$     (10)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 1\! & \!-1\! & \!2 \\ [-0.5ex] -1\! & 0\! & \!-1 \end{bmatrix}$
    (11)   $\begin{bmatrix} x-2\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & \!2x-1\! & \!x-1 \\ [-0.5ex] -2\! & 1\! & \!1 \end{bmatrix}$     (12)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!0\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 1\! & -1\! & \!1 \end{bmatrix}$     (13)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!3\! & \!2 \\ [-0.5ex] 3\! & \!1\! & \!-2 \\ [-0.5ex] -1\! & 0\! & \!1 \end{bmatrix}$     (14)   $\begin{bmatrix} 3\! & \!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 2\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & 0\! & \!1 \end{bmatrix}$
    (15)   $\begin{bmatrix} 2\! & \!-1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2\! & \!-2 \\ [-0.5ex] 3\! & 1\! & \!0 \end{bmatrix}$     (16)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!-2\! & \!0 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & 3\! & \!1 \end{bmatrix}$     (17)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!0\! & \!2 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-3\! & \!4 \\ [-0.5ex] 0\! & 2\! & \!1 \end{bmatrix}$     (18)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-3\! & \!1 \\ [-0.5ex] 8\! & 1\! & \!-5 \end{bmatrix}$

問 4.116 (余因子行列)   $A$ は $n$ 次の正方行列とする．このとき余因子行列 $\tilde{A}$ が $\det(\tilde{A})=\det(A)^{n-1}$ であることを示せ．

問 4.117 (余因子行列)   $A$ が対称行列ならば余因子行列 $\tilde{A}$ も対称行列であることを示せ． また $A$ がさらに正則ならば $A^{-1}$ も対称行列であることを示せ．

問 4.118 (余因子行列)   $A$ が交代行列のとき余因子行列 $\tilde{A}$ は交代行列となるか答えよ．

問 4.119 (クラメルの公式)   次の連立方程式をクラメルの公式を用いて解け．
    (1)   $\left\{\begin{array}{r} 2x-3y=13 \\ 4x+5y=-7 \end{array}\right.$     (2)   $\left\{\begin{array}{r} 5x+y=3 \\ 3x+2y=2 \end{array}\right.$     (3)   $\left\{\begin{array}{r} 4x-2y=1 \\ 3x-y=2 \end{array}\right.$     (4)   $\left\{\begin{array}{r} 2x+3y=9 \\ -3x+5y=-23 \end{array}\right.$
    (5)   $\left\{\begin{array}{r} 3x+2y=1 \\ 2x-3y=18 \end{array}\right.$     (6)   $\left\{\begin{array}{r} 0.7x+0.6y=50 \\ 0.3x+0.4y=30 \end{array}\right.$     (7)   $\left\{\begin{array}{r} \frac{4}{5}x-\frac{3}{5}y=1 \\ \frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y=2 \end{array}\right.$     (8)   $\left\{\begin{array}{r} \sqrt{3}x-y=1 \\ x+\sqrt{3}y=\sqrt{3} \end{array}\right.$
    (9)   $\left\{\begin{array}{r} (\cos\alpha)x-(\sin\alpha)y=\cos\beta \\ (\sin\alpha)x+(\cos\alpha)y=\sin\beta \end{array}\right.$     (10)   $\left\{\begin{array}{r} 2x+3y+z=7 \\ x+y-z=4 \\ 3x+y-z=6 \end{array}\right.$     (11)   $\left\{\begin{array}{r} x+y-z=1 \\ 2x+3y+z=6 \\ x-4y+3z=0 \end{array}\right.$
    (12)   $\left\{\begin{array}{r} x+y+z=6 \\ 3x+2y-2z=1 \\ 2x-y+3z=9 \end{array}\right.$     (13)   $\left\{\begin{array}{r} x-y+2z=8 \\ 2x+3y+z=5 \\ -x+4y+4z=1 \end{array}\right.$     (14)   $\left\{\begin{array}{r} 2x-y+3z=8 \\ -3x+2y+4z=-4 \\ -2x-y-2z=-5 \end{array}\right.$
    (15)   $\left\{\begin{array}{r} x-2y+z=0 \\ x+y-z=1 \\ 2x-y+3z=2 \end{array}\right.$     (16)   $\left\{\begin{array}{r} 2x-y-z=3 \\ 3x+y+5z=5 \\ x+y+3z=2 \end{array}\right.$     (17)   $\left\{\begin{array}{r} -3x-y+z=5 \\ 2x+y=-3 \\ -5x-y+z=9 \end{array}\right.$
    (18)   $\left\{\begin{array}{r} x-y=-4 \\ 2x-3y+z=-3 \\ x+y-5z=12 \end{array}\right.$     (19)   $\left\{\begin{array}{r} x+2y+3z=-3 \\ -2x+y+4z=-14 \\ 3x+2y-z=9 \end{array}\right.$     (20)   $\left\{\begin{array}{r} 2x-y+z-u=4 \\ x-y-z+u=5 \\ -2x+2y+z+2u=-4 \\ -x+y-z+3u=3 \end{array}\right.$
    (21)   $\left\{\begin{array}{r} -3x-y+z+u=4 \\ 2x+y-u=-2 \\ -5x-y+z+4u=5 \\ x+y+z+u=-2 \end{array}\right.$     (22)   $\left\{\begin{array}{r} x+z+2u=6 \\ -2x+y+4z+u=3 \\ 4x-3y-4z+u=-3 \\ -x+y+2z+u=4 \end{array}\right.$

問 4.120 (クラメルの公式)   次の方程式が一意な解をもつための条件とそのときの解を定めよ．
    (1)   $\begin{bmatrix} a\! & \!0\! & \!b \\ [-0.5ex] b\! & \!a\! & \!0 \\ [-0.5ex] b\... ...x] z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} b \\ [-0.5ex] 1 \\ [-0.5ex] a \end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] a\! & \!b\! & \!c \\ [-0.5ex] a^... ...x] z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ [-0.5ex] 1 \\ [-0.5ex] 0 \end{bmatrix}$     (3)   $\begin{bmatrix} 0\! & \!a\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!0\! & \!c \\ [-0.5ex] b\... ...x] z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a \\ [-0.5ex] b \\ [-0.5ex] c \end{bmatrix}$
    (4)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] a\! & \!1\! & \!a \\ [-0.5ex] b\... ...] z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ [-0.5ex] 0 \\ [-0.5ex] -1 \end{bmatrix}$

平成20年2月2日