2.15 行列の演算に関する注意
注意 2.55 (積の可換性)は常に成立するとは限らない.
定義 2.56 (積の可換性)が成立するとき,
と
は可換(commutative)であるという. 可換でない場合は非可換(non-commutative)であるという.
問 2.57 (積の可換性) 可換となりうる行列は正方行列のみである. これを示せ.
例 2.58 (非可換な場合の具体例) 行列,
が
(319)
で与えられたとする.このとき
(320)
となる. よってとなり,
と
とは非可換である.
例 2.59 (可換な場合の具体例) 行列,
が
(321)
で与えられたとする.このとき
(322)
となる. よってとなり,
と
とは可換である.
問 2.60 (対角行列の可換性) 対角行列どうしの積は可換である.これを示せ.
(証明) 対角行列は
,
と表わされる. これを用いて示す.
注意 2.61 (行列の方程式)のとき
または
が成立するとは限らない. 数の場合は
のとき
または
である.
例 2.62 (行列の方程式の具体例) 行列,
を
(323)
とする.このとき
(324)
となる.ではあるが
,
である.
定義 2.63 (行列の巾乗)が正方行列のとき,
を
回掛け合わせた行列を
(325)
と表記し,これをの巾乗と呼ぶ.
定義 2.64 (巾零行列)(
) を満たす行列
を巾零行列と呼ぶ.
例 2.65 (巾零行列の具体例)
(326) (327)
問 2.66 教科書(p.10)問題 1.2.
平成20年2月2日