3.17 演習問題 〜 逆行列，行列の正則性

問 3.72 (逆行列)   次の行列の逆行列を求めよ． ただし $a\not=0$ とする．
    (1)   $\begin{bmatrix}1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 3\! & \!4 \end{bmatrix}$     (2)   $\begin{bmatrix}2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 4\! & \!6 \end{bmatrix}$     (3)   $\begin{bmatrix}0\! & \!2 \\ [-0.5ex] 3\! & \!0 \end{bmatrix}$     (4)   $\begin{bmatrix}1\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 3\! & \!2\! & \!4 \end{bmatrix}$     (5)   $\begin{bmatrix}1\! & \!2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & \!4\! & \!3 \\ [-0.5ex] 4\! & \!3\! & \!0 \end{bmatrix}$     (6)   $\begin{bmatrix}1\! & \!0\! & \!3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!4\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!3\! & \!0 \end{bmatrix}$
    (7)   $\begin{bmatrix}1\! & \!2\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!3\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2\! & \!2 \end{bmatrix}$     (8)   $\begin{bmatrix}2\! & \!-1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!0\! & \!-1 \end{bmatrix}$     (9)   $\begin{bmatrix}-3\! & \!-6\! & \!2 \\ [-0.5ex] 3\! & \!5\! & \!-2 \\ [-0.5ex] 1\! & \!3\! & \!-1 \end{bmatrix}$     (10)   $\begin{bmatrix}1\! & \!-1\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!1\! & \!-1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!1\! & \!5 \end{bmatrix}$     (11)   $\begin{bmatrix}1\! & \!0\! & \!1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!2\! & \!3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!-1\! & \!1 \end{bmatrix}$
    (12)   $\begin{bmatrix}1\! & \!5\! & \!3 \\ [-0.5ex] 11\! & \!2\! & \!9 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1\! & \!1 \end{bmatrix}$     (13)   $\begin{bmatrix}a\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & \!a\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & \!0\! & \!a \end{bmatrix}$     (14)   $\begin{bmatrix}1\! & \!1\! & \!-a+1 \\ [-0.5ex] 2\! & \!3\! & \!2a \\ [-0.5ex] 1\! & \!1\! & \!1 \end{bmatrix}$     (15)   $\begin{bmatrix}2\! & \!1\! & \!4-a \\ [-0.5ex] 1\! & \!1\! & \!3 \\ [-0.5ex] a\! & \!1\! & \!2+a \end{bmatrix}$
    (16)   $\begin{bmatrix}2\! & \!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 1\! & \!-1\! & 2 \\ [-0.5ex] -1\! & \!0\! & \!-1 \end{bmatrix}$     (17)   $\begin{bmatrix}1\! & \!0\! & \!-1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 2\! & \!1\! & \!1\! & \!... ...\! & \!-1\! & \!-1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2\! & \!2\! & \!-2 \end{bmatrix}$     (18)   $\begin{bmatrix}1\! & \!1\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & \!1\! & \!1\! & \!1... ...] 0\! & \!0\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] 0\! & \!0\! & \!0\! & \!1 \end{bmatrix}$     (19)   $\begin{bmatrix}2\! & \!0\! & \!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!-1\! & \!1\! & \!... ... 1\! & \!0\! & \!1\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!1\! & \!-1\! & \!3 \end{bmatrix}$
    (20)   $\begin{bmatrix}0\! & \!1\! & \!0\! & \!0 \\ [-0.5ex] 1\! & \!1\! & \!1\! & \!1... ... -1\! & \!0\! & \!2\! & \!0 \\ [-0.5ex] 0\! & \!-2\! & \!1\! & \!0\end{bmatrix}$     (21)   $\begin{bmatrix}1\! & \!0\! & \!0\! & \!3\! & \!-1 \\ [-0.5ex] 0\! & \!1\! & \!... ...! & \!2\! & \!-4\! \\ [-0.5ex] 0\! & \!0\! & \!0\! & \!-1\! & \!3 \end{bmatrix}$

問 3.73 (逆行列)   行列 $A=\begin{bmatrix} 0\! & \!1\! & \!1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!0\! & \!1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!-1\! & \!0 \end{bmatrix}$ に対して，行列 $(E-A)(E+A)^{-1}$ を求めよ．

問 3.74 (行列の可換性)   $A$, $B$ が可換ならば，次の行列の組も可換であることを示せ．
    (1)  $A^{-1}$, $B$     (2)  $A^{-1}$, $B^{-1}$     (3)  ${A}^{T}$, ${B}^{T}$

問 3.75 (行列の正則性)   $AB=O$ となる $B(\not=O)$ が存在するならば， $A$ は正則でないことを示せ．

問 3.76 (行列の正則性)   次を示せ．
    (1)  $A$ が正則ならば，$A^{-1}$ も正則で $(A^{-1})^{-1}=A$ ．
    (2)  $A$ が正則ならば，${A}^{T}$ も正則で $({A}^{T})^{-1}={(A^{-1})}^{T}$ ．
    (3)  $A$, $B$ が正則ならば，$AB$ も正則で $(AB^{-1})=B^{-1}A^{-1}$ ．

問 3.77 (正則行列)   $A$ が巾零行列ならば $E+A$, $E-A$ は共に正則行列であることを示せ． また，その逆行列を求めよ．

問 3.78 (正則行列)   次の等式をみたす行列 $A$, $B$ を求めよ．

    (1)   $\begin{bmatrix} 1\! & \!2 \\ [-0.5ex] 4\! & \!3 \end{bmatrix}A= \begin{bmatrix} 0\! & \!8 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2 \end{bmatrix}$     (2)   $B \begin{bmatrix} -1\! & \!-2 \\ [-0.5ex] 4\! & \!1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\! & \!1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!2 \end{bmatrix}$

問 3.79 (対角化)   行列 $A$, $P$ が次のとき $P^{-1}AP$ と $A^n\,(n=1,2,\cdots)$ を求めよ．

    (1)   $A= \begin{bmatrix} 3\! & \!4 \\ [-0.5ex] -1\! & \!-2 \end{bmatrix}\quad P= \begin{bmatrix} 4\! & \!1 \\ [-0.5ex] -1\! & \!-1 \end{bmatrix}$     (2)   $A= \begin{bmatrix} 4\! & \!-3 \\ [-0.5ex] 2\! & \!-1 \end{bmatrix}\quad P= \begin{bmatrix} 1\! & \!3 \\ [-0.5ex] 1\! & \!2 \end{bmatrix}$

平成20年2月2日