5.7 べき関数のマクローリン級数

5.9 (多項式のテイラー級数)   $ \alpha$ が自然数以外の実数のとき,

$\displaystyle (1+x)^{\alpha}$ $\displaystyle =1+ \alpha\,x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+ \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}+\cdots \quad (\vert x\vert<1)$    
  $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}\,.$    

$ \alpha$ が自然数のとき,

$\displaystyle (1+x)^{\alpha}$ $\displaystyle =1+\alpha\,x+ \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^{2}+\cdots+ \frac{\alph...
...1)}{2}x^{\alpha-2}+ \alpha\,x^{\alpha-1}+ x^{\alpha} \quad(\vert x\vert<\infty)$    
  $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\alpha} \begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}\,.$    

(導出) $ f(x)=(1+x)^{\alpha}$ とおく. 導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle =(1+x)^{\alpha}\,,\quad f'(x)=\alpha(1+x)^{\alpha-1}\,,\quad f''(x)=\alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}\,,\quad$    
$\displaystyle f'''(x)$ $\displaystyle =\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(1+x)^{\alpha-3}\,,\quad \cdots$    

である. $ \alpha$ が自然数の場合と, それ以外の場合に分けて考える. まず $ \alpha$ が自然数以外の実数のときを考える. 導関数は

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle = \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1) (1+x)^{\alpha-n}$    
  $\displaystyle = \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}(1+x)^{\alpha-n}$    

と表わされる. 点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$ $\displaystyle =\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}$    

となる. よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\in...
...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$    

と求まる. 収束半径 $ r$

$\displaystyle c_{n}=\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}= \frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!}$    

とおくと,

$\displaystyle r$ $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert= \...
...ert\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!n!} \frac{(\alpha-n-1)!(n+1)!}{\alpha!}\right\vert$    
  $\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{n+1}{\alpha-n}\right\vert= \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{1+1/n}{\alpha/n-1}\right\vert=1$    

と得られる. 次に $ \alpha$ が自然数のときを考える. 導関数は

$\displaystyle f^{(n)}(x)$ $\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}(1+x)^{\alpha-n}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$    

と表わされる. 点 $ x=0$ における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$ $\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \displaystyle{\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}} & (n\leq\alpha) \\ 0 & (n>\alpha) \end{array}\right.$    

と求まる. よってテーラー級数は

$\displaystyle f(x)$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\al...
...-n)!n!}x^{n} = \sum_{n=0}^{\alpha}\begin{pmatrix}\alpha \\ n \end{pmatrix}x^{n}$    

と得られる. この展開式は有限項の和であり,有限次数の多項式である. $ \alpha$ が自然数のときのテーラー展開は 二項展開となる. 展開式は多項式であり任意の実数 $ x$ に対して成立する. よって $ \vert x\vert<\infty$ であり,収束半径は $ r=\infty$ となる.


平成21年6月1日