6.9 有理関数の積分～分母の因数分解

定義 6.43 (多項式の根) 多項式

$\displaystyle P(z)=a_n z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1 z+a_0, \quad z\in \mathbb{C}, \quad a_0,\cdots,a_n\in \mathbb{C}$

に対して， $P(\lambda)=0$ をみたすとき， $\lambda$ を多項式の 根（root）という．

定義 6.44 (重根) ある複数の根が同じ値となるとき，それらの根を重根（multiple root）と呼ぶ．

定理 6.45 (多項式の根) 重根を別の根とみなすとき，次多項式は個の根をもつ．

定理 6.46 (因数分解) の個の根が $\lambda_1$ , $\cdots$ , $\lambda_n$ のときは

$\displaystyle P(z)= a_n (z-\lambda_1) (z-\lambda_2) \cdots (z-\lambda_n)$

と因数分解される．

定理 6.47 (実係数多項式の虚根) 実係数の多項式 , $x\in\mathbb{R}$ , $a_i\in\mathbb{R}$ がある虚数根 $\lambda$ をもつとき，その複素共役 $\overline{\lambda}$ も根となる．

（証明） $P(\lambda)=0$ とする．このとき，

	$\displaystyle \overline{P(\lambda)}=\overline{0} \quad\Rightarrow\quad \overlin... ...=0 \quad\Rightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}\overline{a_{k}}\overline{\lambda^{k}}=0$
	$\displaystyle \quad\Rightarrow\quad \sum_{k=0}^{n}a_{k}\left(\overline{\lambda}\right)^{k}=0 \quad\Rightarrow\quad P(\overline{\lambda})=0$

が成り立つ．

定理 6.48 (実係数の多項式の因数分解) 実係数の多項式 , $x\in\mathbb{R}$ , $a_i\in\mathbb{R}$ を実数の範囲内で因数分解すると， 1 次多項式と判別式が負の 2 次多項式で因数分解される．

（証明）根 $\lambda$ が実数のときは因子を $x-\lambda$ とする．根 $\lambda$ が虚数のときは，その複素共役 $\overline{\lambda}$ も根となるので，

$\displaystyle (x-\lambda)(x-\overline{\lambda})= x^2-(\lambda+\overline{\lambda})x+ \lambda\overline{\lambda}= x^2-2\mathrm{Re}(\lambda)\,x+\vert\lambda\vert^2$

とすると実係数となる．この 2 次多項式の判別式は

$\displaystyle D$	$\displaystyle = (\lambda+\overline{\lambda})^2-4\vert\lambda\vert^2 = \lambda^2... ...da^2+\overline{\lambda}^2-2\vert\lambda\vert^2 = (\lambda-\overline{\lambda})^2$
	$\displaystyle = (2i\mathrm{Im}(\lambda))^2 = -4(\mathrm{Im}(\lambda))^2<0$

であり負となる．ただし， $\mathrm{Re}(z)$ , $\mathrm{Im}(z)$ はそれぞれ複素数の実部，虚部を表し，

$\displaystyle \mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}, \quad \mathrm{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}$

と表される．

例 6.49 (複素数の範囲内で因数分解)

$\displaystyle q(z)$	$\displaystyle =z+1,$
$\displaystyle q(z)$	$\displaystyle =z^2+1=(z+i)(z-i),$
$\displaystyle q(z)$	$\displaystyle =z^3+1= (z-e^{\frac{\pi}{3}i}) (z-1) (z-e^{\frac{5\pi}{3}i})= (z+1) \left(z-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\right) \left(z-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}\right),$
$\displaystyle q(z)$	$\displaystyle =z^4+1= (z-e^{\frac{\pi}{4}i}) (z-e^{\frac{3\pi}{4}i}) (z-e^{\frac{5\pi}{4}i}) (z-e^{\frac{7\pi}{4}i})$
	$\displaystyle = \left(z-\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}\right) \left(z-\frac{-\sq... ...frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}i}{2}\right) \left(z-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}i}{2}\right),$
$\displaystyle q(z)$	$\displaystyle =z^5+1= (z-e^{\frac{\pi}{5}i}) (z-e^{\frac{3\pi}{5}i}) (z+1) (z-e^{\frac{7\pi}{5}i}) (z-e^{\frac{9\pi}{5}i}),$
$\displaystyle q(z)$	$\displaystyle =z^6+1= (z-e^{\frac{\pi}{6}i}) (z-i) (z-e^{\frac{5\pi}{6}i}) (z-e^{\frac{7\pi}{6}i}) (z+i) (z-e^{\frac{11\pi}{6}i})$
	$\displaystyle = (z+i)(z-i) \left(z-\frac{-\sqrt{3}-i}{2}\right) \left(z-\frac{-... ...right) \left(z-\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right) \left(z-\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right).$

注意 6.50 (因数分解) 奇数次の多項式は必ず一つは実根をもつ．

例 6.51 (実数の範囲内で因数分解)

$\displaystyle q(x)$	$\displaystyle =x+1,$
$\displaystyle q(x)$	$\displaystyle =x^2+1,$
$\displaystyle q(x)$	$\displaystyle =x^3+1=(x+1)(x^2-x+1),$
$\displaystyle q(x)$	$\displaystyle =x^4+1=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1),$
$\displaystyle q(x)$	$\displaystyle =x^5+1=(x+1) \left(x^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1\right) \left(x^2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1\right),$
$\displaystyle q(x)$	$\displaystyle =x^6+1=(x^2+1)(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1).$

例 6.52 (分母の因数分解)

$\displaystyle q(x)$	$\displaystyle =x^2+3\,,$
$\displaystyle q(x)$	$\displaystyle =x^3+x^2-2x=x(x-1)(x+2)\,,$
$\displaystyle q(x)$	$\displaystyle =x^4-x^3+x+1=(x-1)^2(x^2+x+1)\,,$
$\displaystyle q(x)$	$\displaystyle =x^8+x^7+2x^6+2x^5+x^4+x^3=x^3(x+1)(x^2+1)^2\,.$

平成21年6月1日

6.9 有理関数の積分 ～ 分母の因数分解

6.9 有理関数の積分～分母の因数分解