2.10 関数の上限，下限，最大値，最小値

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2.10 関数の上限，下限，最大値，最小値

定義 2.37 (上限，下限) 区間に含まれるすべての点に対して， $f(x)\le M$ をみたす最小の $M\in R$ を上限（supremum）， $f(x)\ge M$ をみたす最大の $m\in R$ を下限（infimum），といい，

$\displaystyle \sup_{x\in I}f(x)=\sup\left\{\left.\,{f(x)}\,\,\right\vert\,\,{x\in I}\,\right\},$ $\displaystyle \inf_{x\in I}f(x)=\inf\left\{\left.\,{f(x)}\,\,\right\vert\,\,{x\in I}\,\right\}$

と表記する．

定義 2.38 (最大値，最小値) 区間に含まれるすべての点に対して，の値が最大となる値を最大値（maximum），最小となる値は最小値（minimum）といい，

$\displaystyle \max_{x\in I}f(x)=\max\left\{\left.\,{f(x)}\,\,\right\vert\,\,{x\in I}\,\right\},$ $\displaystyle \min_{x\in I}f(x)=\min\left\{\left.\,{f(x)}\,\,\right\vert\,\,{x\in I}\,\right\}$

と表記する．

例 2.39 (上限，下限，最大値，最小値の具体例)

$\displaystyle \sup_{x\in[-1,1]} x^2=1,$ $\displaystyle \inf_{x\in[-1,1]} x^2=0,$ $\displaystyle \max_{x\in[-1,1]} x^2=1,$ $\displaystyle \min_{x\in[-1,1]} x^2=0$

$\displaystyle \sup_{x\in(-1,1)} x^2=1,$ $\displaystyle \inf_{x\in(-1,1)} x^2=0,$ $\displaystyle \max_{x\in(-1,1)} x^2:$ 存在しない $\displaystyle ,$ $\displaystyle \min_{x\in(-1,1)} x^2=0$

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平成21年6月1日

	$\displaystyle \sup_{x\in[-1,1]} x^2=1,$		$\displaystyle \inf_{x\in[-1,1]} x^2=0,$		$\displaystyle \max_{x\in[-1,1]} x^2=1,$		$\displaystyle \min_{x\in[-1,1]} x^2=0$
	$\displaystyle \sup_{x\in(-1,1)} x^2=1,$		$\displaystyle \inf_{x\in(-1,1)} x^2=0,$		$\displaystyle \max_{x\in(-1,1)} x^2:$ 存在しない $\displaystyle ,$		$\displaystyle \min_{x\in(-1,1)} x^2=0$