3.9 指数関数の微分

定理 3.21 (指数関数の微分)  

$$\frac{d}{dx}\,a^{x} =(\log a)\,a^{x}\,$$

$$\frac{d}{dx}\,e^{x} =e^{x}\,$$

関数 $e^{x}$ は微分演算 $${\frac{d}{dx}}$$ に関して恒等的である．

問 3.22   これを示せ．

（証明） $f(x)=e^x$ とおく．このとき

$$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^{x... ...rac{e^{x}e^{h}-e^{x}}{h}= e^{x}\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}= e^{x}\cdot 1= e^{x}$$

を得る． $f(x)=a^x$ とおく．このとき

$$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^{x}}{h}= a^{x}\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h} a^h=t+1$$

$$= a^{x}\lim_{t\to0}\frac{t}{\log_a(t+1)}= a^{x}\lim_{t\to0}\left(... ...right)^{-1}= (\log a)a^{x}\lim_{t\to0}\left(\log(1+t)^{\frac{1}{t}}\right)^{-1}$$

$$= (\log a)a^{x}\lim_{z\to\infty}\left(\log\left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}\right)^{-1}= (\log a)a^{x}\left(\log e\right)^{-1}= (\log a)a^{x}$$

を得る．

（別の証明） $y=f(x)=a^{x}$ とおく． このとき逆関数とその微分は

$$x=f^{-1}(y)=\log_{a}y= \frac{\log y}{\log a}\,,\qquad \frac{dx}{dy}=\frac{\quad\displaystyle{\frac{1}{y}}\quad}{\log a}= \frac{1}{(\log a)y}$$

である．これと逆関数の微分公式より

$$\frac{dy}{dx}=f'(x)=\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dx}{dy}}\qu... ...\frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{1}{(\log a)y}}\quad}= (\log a)y=(\log a)a^{x}$$

を得る．

平成21年6月1日