3.21 演習 〜 高階導関数

問 3.66 (高階導関数)   次の関数の高階導関数を求めよ．
    (1)   $${e^{x}}$$     (2)   $${e^{2x}}$$     (3)   $${e^{-2x}}$$     (4)   $${\sinh x}$$     (5)   $${\cosh x}$$     (6)   $${\sin x}$$     (7)   $${\cos x}$$     (8)   $${x^{n}\,(n\in\mathbb{N})}$$
    (9)   $${x^{\alpha}\,(\alpha\in\mathbb{R},\alpha\notin\mathbb{N})}$$     (10)   $${\sqrt{x}}$$     (11)   $(1+x)^{\alpha}$( $\alpha\in\mathbb{R}$, $\alpha\not\in\mathbb{N}$)     (12)   $${\sqrt{1-x}}$$     (13)   $${\log \left\vert x \right\vert}$$
    (14)  $\log(1-x)$

問 3.67 (高階導関数)   次の関数の $3$ 階までの導関数を求めそのグラフを描け．
    (1)  $\sqrt{x}$     (2)   $${\log \left\vert x \right\vert}$$     (3)  $\cosh x$

問 3.68 (なめらかさ)   次の関数は 不連続関数， $C^0$ 級関数， $C^1$ 級関数， $C^2$ 級関数， $\cdots$， $C^\infty$ 級関数のうちどれか答えよ． （ヒント：すべての高階導関数を求めグラフを描く．）
    (1)   $${2x^3+3x+5}$$     (2)   $${3x^4+2x^2+4x+5}$$     (3)  $x^n$     (4)  $n$ 次多項式     (5)  $e^x$
    (6)  $a^x$ ($a>0$)     (7)  $\sin x$     (8)  $\cos x$     (9)   $${\mathrm{Tan}^{-1}x}$$     (10)   $${\left\vert x\right\vert}$$     (11)   $${\left\vert x\right\vert}$$     (12)   $${\left\vert x^3\right\vert}$$
    (13)   $${\left\{\begin{array}{cc} 0 & (x < 0)\\ 1 & (x \geq 0) \end{array}\right.}$$     (14)   $${\left\{\begin{array}{cc} -x^2 & (x \geq 0)\\ x^2 & (x \leq 0)\end{array}\right.}$$     (15)   $${\left\{\begin{array}{cc} -x^3 & (x < 0)\\ x^2 & (x \geq 0)\end{array}\right.}$$     (16)   $${\left\{\begin{array}{cc} \displaystyle{\frac{\sin x}{x}(x\not=0)}\\ 1\quad(x = 0)\end{array}\right.}$$

問 3.69 (ライブニッツ則)   $f(x)$, $g(x)\in C^{n}$ に対して次の関係式が成立することを示せ．

$$\frac{d^n}{dx^n}(fg)= \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} \frac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}} \frac{d^{k}g}{dx^{k}}$$

問 3.70 (ライプニッツ則)   次の関数の高階導関数をライプニッツ則を用いて求めよ．
    (1)   $(x^2+x)\cos x$     (2)   $x^2\cos 2x$     (3)  $x^2e^{2x}$     (4)   $3^x(x^2+x)$     (5)   $${\frac{e^x}{1-x}}$$     (6)   $${\frac{1}{x^2-x-2}}$$

問 3.71 (合成関数の高階導関数)   次の関係式が成立すること示せ．
    (1)  $z=g(y)$, $y=f(x)$ に対して $${\frac{d^2z}{dx^2}= \frac{d^2z}{dy^2} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2+ \frac{dz}{dy} \frac{d^2y}{dx^2}}$$
    (2)  $y=f(x)$, $x=f^{-1}(y)$ に対して $${\frac{d^2x}{dy^2}= \frac{-\frac{d^2y}{dx^2}}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^3}}$$

問 3.72 (凹凸，変曲点)   次の関数の増減，極値，凹凸，変曲点を調べグラフを描け．
    (1)  $x^3$     (2)   $2x^2\sqrt{x}-5x^2$     (3)   $${\frac{\log x}{x}}$$

問 3.73 (高階導関数)   次の表の空いている個所を埋めよ．

$f(x)$	$f'(x)$	$f''(x)$	$f'''(x)$	$f^{(n)}(x)$
$c$ (定数)	0	0	0	0
$x^{\alpha}$	$\alpha x^{\alpha-1}$	$\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2}$	$\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)x^{\alpha-3}$	$${\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}x^{\alpha-n}}$$     ( $n\leq\alpha\in\mathbb{N}$)
( $\alpha\in\mathbb{R}$)				0     ( $n<\alpha\in\mathbb{N}$)
				$${\frac{\alpha!}{(\alpha-n)!}x^{\alpha-n}}$$     ( $\alpha\not\in\mathbb{N}$)
$\log x$	$${\frac{1}{x}}$$
$\log_{a} x$	$${\frac{1}{(\log a)\,x}}$$
$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$(\log a)\,a^{x}$	$(\log a)^2\,a^{x}$	$(\log a)^3\,a^{x}$	$(\log a)^{n}\,a^{x}$
$\sin x$	$\cos x$	$-\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$	$-\cos x$	$\sin x$
$\tan x$	$${\frac{1}{\cos^2 x}}$$
$\mathrm{Sin}^{-1} x$	$${\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$
$\mathrm{Cos}^{-1} x$	$${\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}}$$
$\mathrm{Tan}^{-1} x$	$${\frac{1}{1+x^2}}$$
$\sinh x$	$\cosh x$	$\sinh x$	$\cosh x$
$\cosh x$	$\sinh x$	$\cosh x$	$\sinh x$
$\tanh x$	$${\frac{1}{\cosh^2 x}}$$
$\sinh^{-1}x$	$${\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$$
$\mathrm{Cosh}^{-1} x$	$${\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}$$
$\tanh^{-1}x$	$${\frac{1}{1-x^2}}$$

平成21年6月1日