2.12 全微分可能性

定義 2.61 (全微分可能)   関数 $z=f(x,y)$ において， 点 $(x,y)$ から点 $(x+\Delta x,y+\Delta y)$ への 増分

$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$

に対して

$$\Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+o(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2} \quad (\rho\to 0)$$

をみたす $\alpha$, $\beta$ が存在するとき， 関数 $z=f(x,y)$ は 全微分可能（total differentiable）であるという． このとき，

$$dz=\alpha\,dx+\beta\,dy$$

と表記し，$dz$ を $z=f(x,y)$ の全微分 または単に微分という．

例 2.62 (微分可能)   関数 $z=f(x,y)=xy$ は全微分可能であるか考える． まず，増分は

$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)= (x+\Delta x)(y+\Delta y)-xy= y\Delta x+x\Delta y+\Delta x\Delta y$$

である．この増分が

$$\Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+\epsilon(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$

の形をみたすと仮定する． このとき式変形すると

$$\frac{\epsilon(\rho)}{\rho}= \frac{(y-\alpha)\Delta x+(x-\beta)\Delta y+\Delta x\Delta y} {\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$$

となる．ここで $\Delta x=\rho\cos\theta$, $\Delta y=\rho\sin\theta$ とおき， $\rho\to 0$ の極限をとると，

$$\lim_{\rho\to 0} \frac{\epsilon(\rho)}{\rho} = \lim_{\rho\to0} \frac{(y-\alpha)\rho\cos\theta+ (x-\beta)\rho\sin\theta+\rho^2\sin\theta\cos\theta} {\rho}$$

$$= \lim_{\rho\to0} (y-\alpha)\cos\theta+ (x-\beta)\sin\theta+\rho\sin\theta\cos\theta$$

$$= (y-\alpha)\cos\theta+ (x-\beta)\sin\theta$$

を得る． $${\lim_{\rho\to 0}\frac{\epsilon}{\rho}=0}$$ となるためには

$$\alpha=y, \qquad \beta=x$$

とおく． よって，

$$\Delta z=y\,\Delta x+x\,\Delta y+o(\rho) \quad (\rho\to0)$$

が成り立つ． 関数 $z=xy$ は全微分可能である． また，$z=xy$ の全微分は

$$dz=y\,dx+x\,dy$$

となる．

例 2.63 (微分可能)   関数 $${z=f(x,y)=\frac{x^2}{y}}$$ は全微分可能であるか考える． まず，増分は

$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) = \frac{(x+\Delta x)^2}{... ...lta y}-\frac{x^2}{y}= \frac{2xy\Delta x+y\Delta x^2-x^2\Delta y}{y(y+\Delta y)}$$

$$= \frac{2x+\Delta x}{y+\Delta y}\Delta x - \frac{x^2}{y(y+\Delta y)}\Delta y$$

である．この増分が

$$\Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+\epsilon(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$

の形をみたすと仮定する． このとき式変形すると

$$\frac{\epsilon(\rho)}{\rho}= \left( \frac{2x+\Delta x}{y+\Delta y... ...-x^2}{y(y+\Delta y)}-\beta \right)\frac{\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}$$

となる．ここで $\Delta x=\rho\cos\theta$, $\Delta y=\rho\sin\theta$ とおき， $\rho\to 0$ の極限をとると，

$$\lim_{\rho\to 0} \frac{\epsilon(\rho)}{\rho} = \lim_{\rho\to0} \left( \left( \frac{2x+\rho\cos\theta}{y+\rho\s... ...rac{-x^2}{y(y+\rho\sin\theta)}-\beta \right)\frac{\rho\sin\theta}{\rho} \right)$$

$$= \left(\frac{2x}{y}-\alpha\right)\cos\theta+ \left(-\frac{x^2}{y^2}-\beta\right)\sin\theta$$

を得る． $${\lim_{\rho\to 0}\frac{\epsilon}{\rho}=0}$$ となるためには

$$\alpha=\frac{2x}{y}, \qquad \beta=-\frac{x^2}{y^2}$$

とおく． よって，$y\neq 0$ のとき

$$\Delta z=\frac{2x}{y}\,\Delta x-\frac{x^2}{y^2}\,\Delta y+o(\rho) \quad (\rho\to0)$$

が成り立つ． 関数 $${z=\frac{x^2}{y}}$$ は $y\neq 0$ のとき全微分可能である． また， $${z=\frac{x^2}{y}}$$ の全微分は

$$dz=\frac{2x}{y}\,dx-\frac{x^2}{y^2}\,dy$$

となる．

例 2.64 (微分可能)   関数 $${z=f(x,y)=\vert x+y\vert}$$ が原点で全微分可能であるか考える． まず，原点における増分は

$$\Delta z=f(0+\Delta x,0+\Delta y)-f(0,0) = \vert+\Delta x+0+\Delta y\vert-\vert+0\vert= \vert\Delta x+\Delta y\vert$$

である．この増分が

$$\Delta z=\alpha\,\Delta x+\beta\,\Delta y+\epsilon(\rho), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$

の形をみたすと仮定する． このとき式変形すると

$$\frac{\epsilon(\rho)}{\rho}= \frac{\vert\Delta x+\Delta y\vert-\alpha \Delta x-\beta \Delta y}{\rho}$$

となる．ここで $\Delta x=\rho\cos\theta$, $\Delta y=\rho\sin\theta$ とおくと，

$$\frac{\epsilon(\rho)}{\rho} = \frac{\vert\rho\cos\theta+\rho\sin\theta\vert- \alpha\rho\cos\t... ...heta}{\rho} =\vert\cos\theta+\sin\theta\vert-(\alpha\cos\theta+\beta\sin\theta)$$

$$= \left\vert\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)\right\v... ...\sin\left(\theta+\phi\right), \qquad \phi=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{\alpha}{\beta}$$

となる． 極限をとると

$$\lim_{\rho\to 0} \frac{\epsilon(\rho)}{\rho} = \begin{cases}\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)- \sq... ...ght)& \displaystyle{\left(\pi\le\theta+\frac{\pi}{2}\le2\pi\right)} \end{cases}$$

となる． これが 0 となる $\alpha$, $\beta$ は $${0\le\theta+\frac{\pi}{2}\le\pi}$$ のとき $\alpha=1$, $\beta=1$ であり， $${\pi\le\theta+\frac{\pi}{2}\le2\pi}$$ のとき $\alpha=\pm1$, $\beta=\mp1$（復号同順）である． よって， 極限の取り方によらず $\alpha$, $\beta$ は一意に定まらないので， $z=f(x,y)$ は原点で全微分不可能である．

平成21年1月14日