2.37 演習問題 〜 テイラー展開

問 2.159 (テイラー展開)   関数 $f(x,y)$ を点 $(a,b)$ のまわりで点 $(a+h,b+k)$ について $3$ 次項までテイラー展開せよ． ただし，剰余項も具体的に書き下して表せ．

問 2.160 (テイラー展開)   次の関数 $f(x,y)$ を点 $A$ のまわりで 点 $(x,y)$ についてテイラー展開せよ．
    (1)   $f(x,y)=x^2y+4y-5$,     $A(1,-1)$
    (2)   $f(x,y)=x-3x^2y^2+2xy-4y^2$,     $A(2,1)$
    (3)   $f(x,y)=x^3-2xy-y^2+3x+4y$,     $A(1,-1)$
    (4)   $f(x,y)=x^3-2y^3+x^2y+4xy^2-3x^2+2y^2+2xy+x+y+2$,     $A(1,-1)$

問 2.161 (テイラー展開)   次の関数 $f(x,y)$ を原点 $(0,0)$ のまわりで 点 $(h,k)$ について $2$ 次項までテイラー展開せよ． ただし，剰余項も具体的に書き下して表せ．
    (1)   $f(x,y)=e^{x+2y}$     (2)   $f(x,y)=e^{x-y}$     (3)   $f(x,y)=\cos(x+2y)$

問 2.162 (テイラー展開)   次の関数 $f(x,y)$ を点 $A$ のまわりで点 $P$ について $2$ 次項までテイラー展開せよ．
    (1)   $f(x,y)=\sin(xy)$,     $A(\pi/2,1)$,    $P(x,y)$
    (2)   $f(x,y)=\cos(xy)$,     $A(\pi,1)$,      $P(\pi+h,1+k)$
    (3)   $${f(x,y)=\sin x\cos y}$$,     $A(-\pi/2,\pi/2)$,     $P(-\pi/2+h,\pi/2+k)$

問 2.163 (テイラー展開)   次の関数 $f(x,y)$ を 1 次項までマクローリン展開せよ． ただし，剰余項も具体的に書き下して表せ．
    (1)   $f(x,y)=\log(1+x+y)$     (2)   $f(x,y)=\sin(x+y^2)$     (3)   $${f(x,y)=\frac{1+y}{x^2+(1+y)^2}}$$

平成21年1月14日