3.1 多重積分

注意 3.1 (定積分)   1 変数関数 $ f(x)$ を考える. 区間 $ [a,b]$

$\displaystyle a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{N-1}<x_{N}=b$    

$ N$ 個に分割し, 各小区間の幅を $ \Delta x_{n}=x_{n}-x_{n-1}$ とおく. このとき,各小区間の矩形の符合付き面積は $ \Delta S_n=f(\xi_n)\Delta x_{n}$ ( $ x_{n-1}<\xi_n<x_{n}$) であるから, 曲線 $ y=f(x)$ と区間 $ [a,b]$ における符合付きの面積

$\displaystyle S= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\Delta S_n= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}f(\xi_n)\Delta x_{n}= \int_{a}^{b}f(x)\,dx$    

で与えられ,これが $ f(x)$ の定積分である. また,定積分においては区間についても向きがあることに注意する.

注意 3.2 (定積分と区間の長さ)   被積分関数が $ f(x)=1$ のとき,定積分

$\displaystyle \int_{a}^{b}dx= \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{x}\,\right]_{a}^{b}=b-a$    

は区間 $ I=[a,b]$長さを表す.

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{area.eps} \includegraphics[width=0.5\textwidth]{length.eps}

定義 3.3 (2 重積分)   長方形領域

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a\leq x\leq b,c\leq y\leq d}\,\right\}$    

$ x$ 軸方向に $ N$ 分割し, $ y$ 軸方向に $ M$ 分割し,

  $\displaystyle a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{N-1}<x_{N}=b,$   $\displaystyle c=y_0<y_1<y_2<\cdots<y_{M-1}<y_{M}=d$    

とする. 各小領域

$\displaystyle D_{n,m}=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x_{n-1}<x<x_{n},y_{m-1}<y<y_{m}}\,\right\}$    

$ x$ 方向,$ y$ 方向の幅を $ \Delta x_n=x_{n}-x_{n-1}$, $ \Delta y_m=y_{m}-y_{m-1}$ とおくと, 小領域 $ D_{n,m}$ の面積は $ \Delta S_{n,m}=\Delta x_n\Delta y_n$ であり, 曲面 $ z=f(x,y)$$ D_{n,m}$ ではさまれた領域の体積は $ \Delta V_{n,m}=f(\xi_n,\eta_m)\Delta S_{n,m}=
f(\xi_n,\eta_m)\Delta x_n\Delta y_m$ である. ただし, $ x_{n-1}<\xi_n<x_{n}$, $ y_{m-1}<\eta_m<y_{m}$ とする. よって, 曲面 $ z=f(x,y)$ と領域 $ D$ とではさまれた領域の 符合付き体積

$\displaystyle V$ $\displaystyle = \lim_{N,M\to\infty} \sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M}\Delta V_{n,m}$    
  $\displaystyle = \lim_{N,M\to\infty} \sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M} f(\xi_n,\eta_m)\Delta x_n\Delta y_m= \iint_{D}f(x,y)\,dxdy$    
  $\displaystyle = \lim_{N,M\to\infty} \sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M} f(\xi_n,\eta_m)\Delta S_{n,m}= \iint_{D}f(x,y)\,dS$    

で与えられる. これを 2 変数関数 $ f(x,y)$ に対する 2 重積分または面積分という.
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{rect-area.eps} \includegraphics[width=0.5\textwidth]{volume.eps}

注意 3.4 (領域の面積の向き)   定積分では積分区間に向きを導入し, $ \int_a^bdx=-\int_b^adx$ となるが, 多重積分では, 微小領域の面積 $ \Delta S_{n,m}$ は正のみである. 例えば $ a$$ b$ とを入れ替えて $ \Delta S_{n,m}<0$ となることは 許されない.

定義 3.5 (2 重積分)   任意の領域 $ D$ に対する 2 重積分は, 領域 $ D$ を含む長方形領域 $ \tilde{D}$ を考え, 関数

$\displaystyle \tilde{f}(x,y)= \left\{ \begin{array}{ll} f(x,y) & (x,y)\in D \\ [1ex] 0 & (x,y)\not\in D \end{array}\right.$    

を導入し,

$\displaystyle \iint_{D}f(x,y)\,dxdy= \iint_{\tilde{D}}\tilde{f}(x,y)\,dxdy$    

と定義する.

注意 3.6 (多重積分と領域の面積)   被積分関数が $ f(x,y)=1$ のとき,

$\displaystyle S=\iint_{D}dxdy$    

は領域 $ D$面積となる.

定義 3.7 (3 重積分)   3 変数関数 $ f(x,y,z)$ に対する3 重積分

$\displaystyle \tilde{V}$ $\displaystyle = \iiint_{D}f(x,y,z)\,dxdydz= \lim_{N,M,L\to\infty}\sum_{n=1}^{N}...
...{m=1}^{M}\sum_{l=1}^{L} f(\xi_n,\eta_m,\lambda_l)\Delta x_n\Delta y_m\Delta z_l$    
  $\displaystyle = \iiint_{D}f(x,y,z)\,dV= \lim_{N,M,L\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\sum_{m=1}^{M}\sum_{l=1}^{L} f(\xi_n,\eta_m,\lambda_l)V_{n,m,l}$    

と定義される.

注意 3.8 (多重積分と領域の面積)   $ \tilde{V}$4 次元の符合付き体積を表す,

また, 被積分関数が $ f(x,y,z)=1$ のとき,

$\displaystyle V=\iint_{D}dxdydy$    

は領域 $ D$体積を表す.

定義 3.9 ($ n$ 重積分)   同様にして定義される $ n$ 変数関数 $ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ に対する$ \vec{n}$ 重積分

$\displaystyle \tilde{V}_{n+1}= \iint\cdots\int_{D}f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\,dx_1dx_2\cdots dx_n$    

と表記する.

注意 3.10 (多重積分と領域の面積)   $ \tilde{V}_{n+1}$$ \vec{n+1}$ 次元の符合付き体積を表す,

また, $ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=1$ のとき,

$\displaystyle V_n= \iint\cdots\int_{D}dx_1dx_2\cdots dx_n$    

は領域 $ D$$ \vec{n}$ 次元の体積を表す.

定義 3.11 (多重積分)   $ 2$ 重積分,$ 3$ 重積分,$ \cdots$ のことを総称して, 多重積分または重積分という.


平成21年1月14日