3.3 2 重積分の計算

3.15 ($ x$, $ y$ 両方に単純な領域における多重積分)   領域 $ D$ を下図のような三角形の領域とする.このとき多重積分

$\displaystyle I=\iint_Ddxdy$    

を求める. 被積分関数は $ 1$ であるから, 領域 $ D$ の面積を $ S=\frac{1}{2}$ とすると, $ I=1\times S=S=\frac{1}{2}$ となる.

領域 $ D$$ x$ に関して単純な領域として表すと

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq 1,\,1\leq y\leq x}\,\right\}$    

となる. このとき累次積分で計算すると

$\displaystyle I=\iint_{D}dxdy= \int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}dy= \int_{0}^{1}\left\...
...ight1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{x^2}{2}}\,\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{1}{2}$    

と得られる.

領域 $ D$$ y$ に関して単純な領域として表すと

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq 1,\,y\leq x\leq 1}\,\right\}$    

となる. このとき累次積分で計算すると

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\iint_{D}dxdy= \int_{0}^{1}dy\int_{y}^{1}dy= \int_{0}^{1}\left\{...
...em depth0.1em\,{y-\frac{y^2}{2}}\,\right]_{y=0}^{y=1}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$    

と得られる.

注意 3.16 ($ x$, $ y$ 両方に単純な領域における多重積分)   $ x$, $ y$ の両方に関して単純な領域であれば, とちらの領域で計算しても結果は同じ.

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{sekibun-D1.eps} \includegraphics[width=0.5\textwidth]{sekibun-I1.eps}

3.17 (累次積分)   多重積分

$\displaystyle I=\iint_D(x^2+y^2+1)\,dxdy, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq 1,\,x\leq y\leq 2x}\,\right\}$    

を求める.$ D$$ x$ に関して単純な領域だから, 累次積分を用いて計算して,

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{2x}(x^2+y^2+1)dy= \int_{0}^{1}\left\{\le...
...5em width0em depth0.1em\,{x^2y+\frac{y^3}{3}+y}\,\right]_{y=x}^{y=2x}\right\}dx$    
  $\displaystyle = \int_{0}^{1} \left\{ \left(2x^3+\frac{8x^3}{3}+2x\right)- \left...
...0em depth0.1em\,{\frac{5x^4}{6}+\frac{x^2}{2}}\,\right]_{x=0}^{x=1}=\frac{4}{3}$    

と得られる.

3.18 (累次積分)   領域 $ D$ を 2 つの $ y$ に関して単純な領域

$\displaystyle D_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq 1,\,\, ...
...(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{1\leq y\leq 2,\,\, \frac{y}{2}\leq x\leq 1}\,\right\}$    

$ D=D_1+D_2$ と分ける. このとき,

$\displaystyle \iint_{D}(x^2+y^2+1)dxdy= \iint_{D_1}(x^2+y^2+1)dxdy+ \iint_{D_2}(x^2+y^2+1)dxdy$    

を計算せよ.

3.19 (領域の面積)   領域 $ D$ の面積 $ S=\iint_Ddxdy$ を求めよ.

\includegraphics[width=0.35\textwidth]{sekibun-D2.eps} \includegraphics[width=0.35\textwidth]{sekibun-D2y.eps} \includegraphics[width=0.35\textwidth]{sekibun-I2.eps}
(a) $ x$ に関して単純な領域 (b) $ y$ に関して単純な領域 (c) $ I$

3.20 (累次積分)   多重積分

$\displaystyle \iint_D\frac{x}{y}dxdy, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{1\leq y\leq 2,\,0\leq x\leq y^2}\,\right\}$    

を求める. $ D$$ y$ に関して単純な領域だから, 累次積分を用いて計算して,

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int_{1}^{2}dy\int_{0}^{y^2}\frac{x}{y}dx= \int_{1}^{2}\left\{\l...
...ht1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{y^4}{8}}\,\right]_{y=1}^{y=2}= \frac{15}{8}$    

と得られる.

3.21 (累次積分)   領域 $ D$ を 2 つの $ x$ に関して単純な領域

$\displaystyle D_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq 1,\,\, ...
...\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{1\leq x\leq 4,\,\, \sqrt{x}\leq y\leq 2}\,\right\}$    

$ D=D_1+D_2$ と分ける. このとき,

$\displaystyle \iint_{D}(x^2+y^2+1)dxdy= \iint_{D_1}(x^2+y^2+1)dxdy+ \iint_{D_2}(x^2+y^2+1)dxdy$    

を計算せよ.

3.22 (領域の面積)   領域 $ D$ の面積 $ S=\iint_Ddxdy$ を求めよ.

\includegraphics[width=0.35\textwidth]{sekibun-D3.eps} \includegraphics[width=0.35\textwidth]{sekibun-D3x.eps} \includegraphics[width=0.4\textwidth]{sekibun-I3.eps}
(a) $ y$ に関して単純な領域 (b) $ x$ に関して単純な領域 (c) $ I$

3.23 (累次積分)   多重積分

$\displaystyle I=\iint_Dx^2y\,dxdy, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq 1,\,y\geq 0}\,\right\}$    

を求める.領域 $ D$ は半円の内部の領域であり,

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{-1\leq x\leq 1,\,0\leq y\leq \sqrt{1-x^2}}\,\right\}$    

と書き直すと,$ x$ に関して単純な領域とする. 累次積分を用いて計算して,

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int_{-1}^{1}dx\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!x^2y...
...1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{10}}\,\right]_{x=-1}^{x=1}$    
  $\displaystyle = 2\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{10}\right)=\frac{2}{15}$    

と得られる.

3.24 (累次積分)   領域 $ D$$ y$ に関して単純な領域として書けば

$\displaystyle D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq 1,\,\, -\sqrt{1-y^2}\leq x\leq\sqrt{1-y^2} }\,\right\}$    

と書ける.このとき $ I=\iint_{D}x^2y\,dxdy$ を求めよ.

3.25 (領域の面積)   領域 $ D$ の面積 $ S=\iint_Ddxdy$ を求めよ.

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{sekibun-D4.eps} \includegraphics[width=0.5\textwidth]{sekibun-D4y.eps}
(a) $ x$ に関して単純な領域 (b) $ y$ に関して単純な領域


平成21年1月14日