3.7 長方形領域における積分

定理 3.39 (長方形領域における多重積分)   領域 $D$ が長方形領域

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d}\,\right\}$$

のとき，

$$\iint_D\!\!f(x,y)\,dxdy= \int_{a}^{b}\!dx\int_{c}^{d}\!f(x,y)\,dy= \int_{c}^{d}\!dy\int_{a}^{b}\!f(x,y)\,dx$$

が成り立つ．

注意 3.40 (長方形領域における多重積分)   長方形領域であれば $x$ と $y$ の積分の順が 交換可能である．

例 3.41 (長方形領域における多重積分)   多重積分

$$I=\iint_D(x+y)\,dxdy, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq x\leq 1,\,1\leq y\leq 2}\,\right\}$$

を求める． $y$, $x$ の順で積分すると

$$I = \int_0^1dx\int_1^2(x+y)dy= \int_0^1dx\left[\vrule height1.5em w... ...t1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{x^2}{2}+\frac{3x}{2}}\,\right]_{x=0}^{x=1}=2$$

となる． 逆に $x$, $y$ の順で積分すると

$$I = \int_1^2dy\int_0^1(x+y)dx= \int_1^2dy\left[\vrule height1.5em w... ...ht1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{y}{2}+\frac{y^2}{2}}\,\right]_{y=1}^{y=2}=2$$

となる． 積分の順を入れ替えても結果は同じである．

問 3.42 (長方形領域における多重積分)   多重積分

$$I=\iint_D(2x-y)dxdy, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq y\leq 1,\,1\leq x\leq 2}\,\right\}$$

を求めよ．

定理 3.43 (長方形領域における多重積分)   領域 $D$ が長方形領域

$$D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{a\leq x\leq b,\,c\leq y\leq d}\,\right\}$$

であり，被積分関数が変数分離型 $f(x)g(y)$ のとき，

$$\iint_D\!\!f(x)g(y)\,dxdy= \int_{a}^{b}\!f(x)\,dx\int_{c}^{d}\!g(y)\,dy= \left(\int_{a}^{b}\!f(x)\,dx\right) \left(\int_{c}^{d}\!g(y)\,dy\right)$$

が成り立つ．

例 3.44 (長方形領域における多重積分)   多重積分

$$I=\iint_Dxy\,dxdy, \quad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{1\leq x\leq 2,\,3\leq y\leq 4}\,\right\}$$

を求める．長方形領域で被積分関数は変数分離型であるから，

$$I =\int_1^2x\,dx\int_3^4y\,dy= \left(\int_1^2x\,dx\right)\left(\int... ...ft[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{y^2}{2}}\,\right]_{y=3}^{y=4}$$

$$= \frac{4-1}{2}\times\frac{16-9}{2}=\frac{21}{4}$$

となる．

平成21年1月14日