3.16 演習問題 〜 体積,曲面積

3.75 (体積)   次の立体の体積を多重積分を用いて求めよ.
    (1)  半径 $ a$ の球.     (2)  底面の半径 $ a$,高さ $ h$ の円柱.     (3)  底面の半径 $ a$,高さ $ h$ の円錐.
    (4)   半球 $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq a^2, z\geq 0}\,\right\}$ と 円柱 $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$ の共通部分.
    (5)   球 $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2+z^2\leq 4a^2}\,\right\}$ から 円柱 $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$ を除いた領域.
    (6)  円柱 $ x^2+y^2\leq a^2$ $ 0\leq z\leq x$ の領域.
    (7)   2 つの円柱 $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+z^2\leq a^2}\,\right\}$, $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2\leq a^2}\,\right\}$ の共通部分.
    (8)   曲面 $ \displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1}$ $ (a,b,c>0)$ に囲まれた領域.
    (9)  曲面 $ z=x^2+y^2$ と平面 $ x+y+z=1$ に囲まれた領域.
    (10)   円柱 $ x^2+y^2=a^2$ $ (a>0)$ と 2 平面 $ x+z=a$, $ z=0$ に囲まれた領域.
    (11)   曲面 $ z=x^2+y^2$, 円柱 $ x^2+y^2=4$ および 平面 $ z=0$ に囲まれた領域.
    (12)  曲面 $ z=x^2+y^2$ と平面 $ z=2x$ に囲まれた領域.
    (13)  曲面 $ (x^2+y^2+z^2)^2=z$ で囲まれた領域.
    (14)  曲面 $ x^2+y^2+z^2=4$, $ x^2+y^2=3z$ に囲まれた領域.

3.76 (曲面積)   次の曲面の曲面積を求めよ.ただし $ a>0$ とする.
    (1)  半径 $ a$ の球の表面.     (2)  球面 $ x^2+y^2+z^2=a^2$ $ x^2+y^2\le ax$, $ z\ge 0$ の部分.
    (3)   $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x+y+z=a, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0}\,\right\}$         (4)   $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=xy, x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$
    (5)   $ \displaystyle{\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{z},
x^2+y^2\leq a^2, x\geq 0, y\geq 0, z\geq 0}\,\right\}}$
    (6)   $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2=a^2, x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}$         (7)   $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{y^2+z^2=a^2, x^2+y^2+z^2 \leq 2a^2}\,\right\}$
    (8)   $ \left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{z=x^2+y^2, z\leq a}\,\right\}$         (9)  曲面 $ z=x^2+y^2$ と平面 $ z=1$ で囲まれる図形.
    (10)  球面 $ x^2+y^2+z^2=4z$ のうち曲面 $ z=x^2+y^2$ の内部にある部分.
    (11)  曲面 $ 2z=x^2+y^2$ のうち円柱 $ x^2+y^2=1$ の内部にある部分.
    (12)  球面 $ x^2+y^2+z^2=a^2$$ z\geq b$ の部分 $ (0<b<a)$

3.77 (体積)   下図の三角錐について,次の問に答えよ.
    (1)  $ 3$$ A,B,C$ を通る平面 $ H$ の方程式を(i)-(iii)の方法で求めよ.
    (i)   平面 $ H$ を一般形 $ ax+by+cz+d=0$ で表し $ a$, $ b$, $ c$, $ d$ に関して解いて求めよ.
    (ii)   平面 $ H$ $ \displaystyle{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1}$ と おいて $ a$, $ b$, $ c$ に関して解いて求めよ.
    (iii)   平面 $ H$ の法線ベクトルを $ \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$ により求めて $ H$ の方程式を求めよ.
    (2)  底面の領域 $ D$$ x$ に関して単純な式で表せ.
    (3)  底面の領域 $ D$ の面積 $ \displaystyle{S(D)=\iint_D dx dy}$ を計算せよ.
    (4)  平面 $ H$ の方程式を $ z=f(x,y)$ の形で表せ.
    (5)  三角錐の体積を $ \displaystyle{V=\iint_D f(x,y)\,dx dy}$ で計算せよ.
    (6)  三角形 $ ABC$ の面積を $ \displaystyle{S(\triangle ABC)=\iint_D \sqrt{1+(f_x)^2+(f_y)^2}dxdy}$ により求めよ.
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{enshu/tri.eps}

3.78 (多重積分の広義積分への応用)   次を示せ.

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$    


平成21年1月14日