1.6 演習問題 〜 直線，平面

問 1.22 ( $\mathbb{R}^2$ の直線)   次の $\mathbb{R}^2$ の直線に関して， 傾き，$y$ 切片，$x$ 切片， 方向ベクトル，法線ベクトルを求めよ． また，この直線に直交し原点を通る法線を求めよ．
    (1)  2 点 $(2,-3)$, $(-1,1)$ を通る直線     (2)   $${y=3x-2}$$     (3)   $${3x-2y+5=0}$$     (4)   $${\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{2}}$$
    (5)   $${\frac{x}{3}-\frac{y}{2}=1}$$

問 1.23 ( $\mathbb{R}^2$ の直線)   次の $\mathbb{R}^2$ の直線をパラメータ表示で表せ． また，直線の方向ベクトル，法線ベクトル， $x$ 切片，$y$ 切片，傾きを求めよ． さらには，この直線に直交し点 $(1,2)$ を通る法線を求めよ．
    (1)  点 $(1,-1)$, $(2,3)$ を通る直線     (2)  点 $(0,2)$, $(1,0)$ を通る直線
    (3)  点 $(-3,1)$, $(4,2)$ を通る直線     (4)  点 $(2,1)$, $(5,-1)$ を通る直線
    (5)   $${\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{4}}$$     (6)   $${\frac{x}{-1}=\frac{y+2}{-3}}$$     (7)   $${\frac{x-5}{-3}=\frac{y-3}{5}}$$
    (8)   $${\frac{x+3}{2}=\frac{y-1}{-1}}$$     (9)  $y=2x-1$     (10)  $y=-2x+3$     (11)  $y=4x-3$     (12)  $y=-3x-5$
    (13)  $3x+2y+5=0$     (14)  $-x+y+1=0$     (15)  $2x-y-2=0$     (16)  $-x-3y+1=0$
    (17)   $${\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1}$$     (18)   $${\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1}$$     (19)   $${\frac{x}{-3}+\frac{y}{-5}=1}$$     (20)   $${\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1}$$

問 1.24 ( $\mathbb{R}^3$ の平面)   次の $\mathbb{R}^3$ の平面の法線ベクトルを求めよ．
    (1)   $2x-y+3z+4=0$     (2)  3 点 $(1,2,-1)$, $(0,2,1)$, $(-1,0,1)$ を通る平面

問 1.25 ( $\mathbb{R}^3$ の平面)   次の 3 点を通る $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式を求めよ．
    (1)  点 $(1,1,-2)$, $(3,0,1)$, $(2,1,-1)$     (2)  点 $(0,1,2)$, $(3,-1,0)$, $(2,4,0)$
    (3)  点 $(0,1,2)$, $(-1,2,-1)$, $(2,0,-3)$     (4)  点 $(4,0,2)$, $(2,-1,0)$, $(2,1,1)$

問 1.26 ( $\mathbb{R}^3$ の直線)   次の $\mathbb{R}^3$ の直線の方向ベクトルを求めよ．
    (1)  2 点 $(1,1,-2)$, $(3,0,1)$ を通る直線
    (2)  $2x+3y=1$, $3y+4z=2$     (3)  $2x+3y-z=1$, $x-2y+z=-1$

問 1.27 ( $\mathbb{R}^3$ の直線)   次の 2 点を通る $\mathbb{R}^3$ の直線を パラメータ表示と成分表示で表せ．
    (1)  点 $(1,1,-2)$, $(3,0,1)$     (2)  点 $(1,2,-1)$, $(0,2,1)$     (3)  点 $(0,1,2)$, $(-1,2,-1)$
    (4)  点 $(4,0,2)$, $(2,-1,0)$     (5)  点 $(0,1,2)$, $(3,-1,0)$

問 1.28 ( $\mathbb{R}^3$ の直線)   次の $\mathbb{R}^3$ の直線をパラメータ表示せよ．
    (1)  $x-y-z-2=0$, $2x+y-z-5=0$     (2)   $x-y+2z-2=0$, $3x+2y-z+5=0$

問 1.29 (平面と直交する直線)   次の $\mathbb{R}^3$ の平面と直交し点 $(1,2,3)$ を通る直線の方程式を求めよ． また，その交点を求めよ．
    (1)  $2x+3y+1=0$     (2)  $-x+2y-2=0$     (3)  $3x-y+2=0$     (4)   $-3x-2y+3=0$

問 1.30 (直交する直線)   次の $\mathbb{R}^3$ の直線と直交し点 $(1,2,3)$ を通る直線の方程式を求めよ． また，その交点を求めよ．
    (1)   $${\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{3}}$$     (2)   $${\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{-2}}$$

問 1.31 (平行四辺形の面積)   次の4 点からなる平行四辺形の面積を求めよ．
    (1)  $(0,0)$, $(1,3)$, $(3,4)$, $(2,1)$     (2)  $(0,0)$, $(-3,1)$, $(-1,3)$, $(2,2)$
    (3)  $(-2,0)$, $(0,2)$, $(3,0)$, $(1,-2)$

平成21年1月14日