3.20 周回積分

注意 3.93 (周回積分)   積分路 $C$ が一周しているとき， 線積分 $${\int_{C}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}}$$ を

$$\oint_{C}\vec{f}(\vec{x})\cdot\,d\vec{x}$$

と表記することがある． これを周回積分とも呼ぶ．

定義 3.94 (領域の境界)   領域 $D$の境界を $\partial D$ と表記する． このとき内部が進行方向の左手になるように向きを定める． （注意）ここで $\partial$ は偏微分の記号とは全く関係ない． 単に記号の形が「ぐるっとまわる」の見えるため．

例 3.95 (周回積分)   線積分

$$I =\oint_{C}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}$$

を計算する． ただし， 積分路 $C$ は $x=1$, $y=4$, $y=x^2$ ($x\ge 0$) で囲まれる領域の境界を 正の向きに回るとする． 積分路を分割すると，

$$C=C_1+C_2+C_3,$$

$$C_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,y=t^2,\,t:1\to 2}\,\right\},$$

$$C_2=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=t,\,y=4,\,t:2\to 1}\,\right\},$$

$$C_3=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=1,\,y=t,\,t:4\to 1}\,\right\}$$

と書ける． 線積分は

$$I = \int_{C_1}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}+ \int_{C_2}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}+ \int_{C_3}\frac{dx}{y}+\frac{dy}{x}$$

$$= \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{t^2}+\frac{2t}{t}\right)dt+ \int_{2}... ...{1}{4}+\frac{0}{t}\right)dt+ \int_{4}^{1}\left(\frac{0}{t}+\frac{1}{1}\right)dt$$

$$= \int_{1}^{2}\frac{dt}{t^2}+ 2\int_{1}^{2}dt+\frac{1}{4}\int_{2}... ...idth0em depth0.1em\,{-\frac{1}{t}}\,\right]_{1}^{2}+ 2(2-1)+\frac{1-2}{4}+(1-4)$$

$$= -\frac{3}{4}$$

となる．

例 3.96 (周回積分)   周回積分

$$I=\frac{1}{2}\oint_{C}xdy-ydx$$

を求める． ただし，積分路は $C=C_1+C_2$, $C_1$: 中心は原点，半径 $2a$ の円を正の向きに一周， $C_2$: 中心は原点，半径 $a$ の円を負の向きに一周とする． 積分路は

$$C_1=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=2a\cos t,\,y=2a\sin t,\, t:0\to 2\pi}\,\right\},$$

$$C_2=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x=a\cos t,\,y=a\sin t,\, t:2\pi\to0}\,\right\}$$

と書けるので， 線積分は

$$I =\frac{1}{2}\oint_{C_1}xdy-ydx+\frac{1}{2}\oint_{C_2}xdy-ydx$$

$$= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} ((2a\cos t)(2a\cos t)-(2a\sin t)(-2a\sin t))dt+ \frac{1}{2}\int_{2\pi}^{0} ((a\cos t)(a\cos t)-(a\sin t)(-a\sin t))dt$$

$$= \frac{4a^2}{2}\int_{0}^{2\pi}dt + \frac{a^2}{2}\int_{2\pi}^{0}d... ...t - \frac{a^2}{2}\int_{0}^{2\pi}dt = \frac{3a^2}{2}\int_{0}^{2\pi}dt = 3\pi a^2$$

と求まる．

平成21年1月14日