1.1 集合

定義 1.1 (集合)   ある一定範囲にある対象物の集まりを１つの全体として考えるとき， これを集合（set）という． その範囲内の個々の対象物を元 または要素（element）という． $x$ が集合 $X$ の元であることを， $x$ は $X$ に属する（belong）， または $X$ は $x$ を含む（包含する）（contain）といい， $x\in X$ と表記する．その否定を $x\notin X$ と表記する．

ある元 $x$ が条件 $C(x)$ をみたすとする． このとき，条件をみたす $x$ 全体の集合を

$$X=\left\{\left.\,{x}\,\,\right\vert\,\,{C(x)}\,\right\}$$

と表記する．

定義 1.2 (集合の包含関係)    

• 元を１つも含まない集合を空集合（empty set）といい， $X=\emptyset$ と表記する．
• 集合 $X$ と $Y$ に含まれる元が全て等しいとき $X=Y$ と表記する． $X=Y$ ではないとき $X\neq Y$ と書く．
• $X$ に含まれる全ての元が $Y$ に含まれるとき， $Y$ は $X$ を含む（contain）， または，$X$ は $Y$ の部分集合（subset）といい， $X\subset Y$ と表記する． $X\subset Y$ ではないとき $X\not\subset Y$ と書く．

注意 1.3 (真部分集合)   $X\subset Y$ は定義より $X=Y$ の意味も含む． $X\subset Y$ でありかつ $X\neq Y$ のときは， $X$ は $Y$ の真部分集合（proper subset）という． これを $X\subsetneq Y$ と表記する． 書物によっては部分集合に $\subseteq$ を用い， 真部分集合に $\subset$ を用いる場合もあるので注意が必要である．

平成20年4月22日