5.2 テイラー級数の導出
べき級数
を考える. 関数が与えられたとし, テイラー級数の係数
を導出する.
が
に十分近いとき
は 次数
が大きいほど小さくなる. つまり小さい次数の項が主要な項となる. よって小さい次数の係数より順に値を定めて行く.
まずべき級数
にを代入する.すると
となる.よって係数をと定める. べき級数は
となる. 両辺を微分すると
を得る.ここにを代入すると
となるので係数をと定める. このときべき級数とその導関数は
となる. これで次の項までの係数が定まった.
の最初の二つの項までをみると
における接線の方程式となっている. 次に
階,
階の導関数と求めて行くと
となる.を代入すると
となるので係数が
と定まる. 同様な操作を繰り返せば
を得る.
平成22年6月17日