5.4 三角関数のテイラー級数

例 5.5 (三角関数のテイラー級数)

$\displaystyle \sin x$	$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}= x-\frac{... ...cdots+ \frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$
$\displaystyle \cos x$	$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}= 1-\frac{x^2}{2... ...{4!}+\cdots+ \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+\cdots \quad (\vert x\vert<\infty)\,.$

（導出） $f(x)=\sin x$ とおく．導関数を計算すると

$\displaystyle f(x)=\sin x\,,\quad f'(x)=\cos x\,,\quad f''(x)=-\sin x\,,\quad f'''(x)=-\cos x\,,\quad f^{(4)}(x)=\sin x\,,\quad \cdots$

である．一般的に書くと

$\displaystyle f^{(n)}(x)$

$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \sin x & (n=4k) \\ \cos x & (n=4k+1) \... ...x & (n=4k+2) \\ -\cos x & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$

である．点における微分係数は

$\displaystyle f^{(n)}(0)$

$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} 0 & (n=4k) \\ 1 & (n=4k+1) \\ 0 & (n=4k+2) \\ -1 & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$

と求まる．これを用いてテーラー級数を求めると

$\displaystyle f(x)$	$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
	$\displaystyle \qquad (n=4k,n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3;k=0,1,2,\cdots)$
	$\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k)}(0)}{(4k)!}x^{4k}+ \sum_{k=0}^... ...(0)}{(4k+2)!}x^{4k+2}+ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(4k+3)}(0)}{(4k+3)!}x^{4k+3}$
	$\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)!}x^{4k+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(4k+3)!}x^{4k+3}$
	$\displaystyle = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2(2k)+1)!}x^{2(2k)+1} + \sum_{k=0}^{\infty}\frac{-1}{(2(2k+1)+1)!}x^{2(2k+1)+1}$
	$\displaystyle \qquad (l=2k,l=2k+1;k=0,1,2,\cdots)$
	$\displaystyle = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{(-1)^{l}}{(2l+1)!}x^{2l+1}$
	$\displaystyle \qquad (l=n-1;n=1,2,3,\cdots)$
	$\displaystyle = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}$

を得る．収束半径を求める．

$\displaystyle c_{n}$

$\displaystyle =\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}$

とおくと

$\displaystyle r$	$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} \left\vert\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\vert = ... ... \frac{(2n+1)!}{(-1)^{n}}\right\vert= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n+1)!}{(2n-1)!}$
	$\displaystyle = \lim_{n\to\infty} (2n+1)(2n) = \lim_{n\to\infty} (4n^2+2n) =\infty$

が得られる．

例 5.6 (三角関数のテイラー級数) $f(x)=\sin x$ の点 $\displaystyle{x=\frac{\pi}{4}}$ まわりでのテイラー級数を求める．の高階導関数は前述の問題で求めているので， $\displaystyle{x=\frac{\pi}{4}}$ における高階微係数を求めると，

$\displaystyle f^{(n)}\left(\frac{\pi}{4}\right)$

$\displaystyle = \left\{\begin{array}{cl} \frac{1}{\sqrt{2}} & (n=4k) \\ \frac{1... ... \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & (n=4k+3) \end{array}\right. \qquad (k=0,1,2,3,\cdots)$

となる．よって，テイラー級数は

$\displaystyle \sin x$	$\displaystyle = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}\left(\frac{\pi}{4}\right)}{n!} \left(x-\frac{\pi}{4}\right)^n$
	$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}} +\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\rig... ...ac{\pi}{4}\right)^3 +\frac{1}{4!\sqrt{2}}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^4 +\cdots$
	$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left( \frac{1}... ...{4}\right)^{2n} + \frac{1}{(2n+1)!} \left(x-\frac{\pi}{4}\right)^{2n+1} \right)$

と得られる．