5.13 項別積分

例 5.31 (項別積分)   関数 $f(x)=\mathrm{Tan}^{-1} x$ を考える． $f(x)$ のテイラー級数を求める． このとき $f^{(n)}(x)$ の計算は面倒であるので 別の方法を考える． そこで次のような項別積分を用いて テイラー級数を求める． まず $f(x)$ の導関数は

$$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$$

である． これをテイラー級数で表わす． そのためまず

$$\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}$$

を用意する．$x$ に $x^2$ を代入すれば

$$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}= 1-x^{2}+x^{4}+\cdots= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{2n}$$

を得る． 両辺を不定積分をすると

$$\mathrm{Tan}^{-1} x = \int\left(\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}x^{2n}\right)\,dx= \sum_{n=0}^{\infty} \int(-1)^{n}x^{2n}\,dx$$

$$= \int\,dx+ -\int x^2\,dx+ +\int x^4\,dx+ \cdots +(-1)^{n}\int x^{2n}\,dx+ \cdots$$

$$= C+x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots +(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+\cdots= C+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1}$$

$$= C+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1} \qquad(n\to n-1)$$

を得る． 定数項 $C$ には不定性が残っている． これを定める． $x=0$ を代入すると

$$\mathrm{Tan}^{-1} 0 = C+0+0+\cdots \qquad\to\quad C=\mathrm{Tan}^{-1} 0=0$$

を得る． 以上より $f(x)$ のテイラー級数として

$$f(x) =\mathrm{Tan}^{-1} x= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1}$$

が求まる．

平成22年6月17日