5.23 演習 〜 テイラー展開

問 5.57 (テイラー級数)   関数 $f(x)$ に関して点 $x=0$ まわりで $x$ についてのテイラー級数を求めよ． このとき，級数が絶対収束する $x$ の範囲も求めよ．
    (1)   $${f(x)=e^x}$$     (2)   $${f(x)=\sin x}$$     (3)   $${f(x)=\cos x}$$     (4)   $${f(x)=\log(1+x)}$$     (5)   $${f(x)=\frac{1}{1-x}}$$
    (6)   $${f(x)=(1+x)^\alpha}$$ ( $\alpha\not\in\mathbb{N}$, $\alpha\in\mathbb{R}$)     (7)   $${f(x)=(1+x)^\alpha}$$ ( $\alpha\in\mathbb{R}$)     (8)   $${f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}}$$
    (9)   $${f(x)=\sinh x}$$     (10)   $${f(x)=\cosh x}$$     (11)   $${f(x)=5x^4+2x^3-3x^2+4x-1}$$
    (12)   $${f(x)=3x^4+x^3-4x^2+2x-1}$$     (13)   $${f(x)=3x^5-4x^4+x^3-10x^2+3x-1}$$     (14)   $${f(x)=e^{-x}}$$

問 5.58 (テイラー級数)   関数 $f(x)$ に関して点 $x=a$ まわりで $x$ についてのテイラー級数を求めよ．
    (1)   $${f(x)=\sin x}$$, $${a=\frac{\pi}{4}}$$     (2)   $${f(x)=\cos x}$$, $${a=\frac{\pi}{3}}$$     (3)   $${f(x)=\frac{x+1}{x^2+3x}}$$, $a=1$

問 5.59 (項別微分)   次の関数 $f(x)$ のマクローリン級数の項別微分が， 関数 $g(x)$ のマクローリン級数と等しいことを示せ．
    (1)   $f(x)=e^{x}$, $${g(x)=e^{x}}$$     (2)   $f(x)=\sin x$, $${g(x)=\cos x}$$     (3)   $f(x)=\log(1+x)$, $${g(x)=\frac{1}{1+x}}$$

問 5.60 (合成によるテイラー展開の計算)   次の関数のマクローリン級数を求めよ．
    (1)   $${e^{x}}$$     (2)   $${e^{2x}}$$     (3)   $${e^{-x}}$$     (4)   $${e^{x^2}}$$     (5)   $${e^{-x^2}}$$     (6)   $${e^{\alpha\,x}}$$     (7)   $${\sinh x}$$     (8)   $${\cosh x}$$
    (9)   $${\frac{1}{1+x}}$$     (10)   $${\frac{1}{1+x^2}}$$     (11)   $${\frac{1}{1-x^2}}$$     (12)   $${\frac{1}{1-x-x^2}}$$
    (13)   $${(1+x)^{\alpha}}$$     (14)   $${\frac{1}{(1+x)^2}}$$     (15)   $${\frac{1}{(1-x)^2}}$$     (16)   $${(1+x)^{\frac{3}{2}}}$$     (17)   $${\sqrt{1+x}}$$     (18)   $${\sqrt{1+x^2}}$$
    (19)   $${\sqrt{1-x^2}}$$     (20)   $${\sqrt{1-x-x^2}}$$     (21)   $${\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}$$     (22)   $${\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$
    (23)   $${\log{\frac{1+x}{1-x}}}$$     (24)   $${\cos(-x^2)}$$     (25)   $\log(2+x^2)$     (26)   $\mathrm{Tan}^{-1}2x$

例 5.61 (掛算によるテイラー展開の計算)   次の関数のマクローリン級数を求めよ．
    (1)   $(1+x)e^{x^2}$     (2)   $x^2\log(1+x)$     (3)   $x\log(1+2x)$     (4)  $x\sin x$     (5)   $(1+x^2)\cos x$
    (6)   $e^{2x}\sin x$     (7)   $(2-x)\sqrt{1+x}$

例 5.62 (割算によるテイラー展開の計算)   次の関数のマクローリン級数を求めよ．
    (1)   $${\frac{x}{1+x}}$$     (2)   $${\frac{1}{x^2+2x-3}}$$     (3)   $${\frac{x^2}{x^2-x-2}}$$     (4)   $${\frac{2x^2+1}{2x^2+x-1}}$$     (5)   $${\frac{\sin x}{1-x}}$$
    (6)   $${\tan x}$$     (7)   $${\frac{\log(1+x)-e^x}{1-x^2}}$$

例 5.63 (項別積分によるテイラー展開の計算)   次の関数のマクローリン級数を導関数のマクローリン級数を項別積分して求めよ．
    (1)   $${\mathrm{Tan}^{-1}x}$$     (2)   $${\mathrm{Sin}^{-1} x }$$     (3)   $${\mathrm{Cos}^{-1}x}$$     (4)   $${\log(x+\sqrt{1+x^2})}$$

問 5.64 (テイラー展開を用いた極限の計算)   次の極限をマクローリン級数を用いて求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}}$$     (2)   $${\lim_{x\to0}\frac{x^2}{1+x-e^x}}$$     (3)   $${\lim_{x\to0}\frac{a^x-b^x}{x}}$$ ($a,b>0$)     (4)   $${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}}$$     (5)   $${\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}}$$
    (6)   $${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}$$     (7)   $${\lim_{x \to 0}\frac{(1+x)\sin x-x\cos x}{x^2}}$$     (8)   $${\lim_{x \to 0}\frac{e^{2x}-\cos x}{x}}$$     (9)   $${\lim_{x \to 0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{x\sin x}}$$
    (10)   $${\lim_{x \to 0}\frac{\sin x-xe^x+x^2}{x(\cos x-1)}}$$     (11)   $${\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{\sin^2x}-\frac{1}{x^2}\right)}$$     (12)   $${\lim_{x \to 0}\frac{x-\mathrm{Sin}^{-1}x}{x-x\cos x}}$$
    (13)   $${\lim_{x \to 0}\frac{\log (1+x)-\sin x}{x^2}}$$     (14)   $${\lim_{x \to 1+0}\frac{x-1}{\log x}}$$     (15)   $${\lim_{x \to 1}\frac{x\log x}{1-x^2}}$$     (16)   $${\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}-x\right)}$$
    (17)   $${\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+x^2}-x\right)}$$     (18)   $${\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{x^3+x^2}-x\right)}$$

問 5.65 (テイラー展開とグラフの形)   関数 $${f(x)=xe^{-x^2}}$$について，     (i)  $f(x)$が増加の状態，減少の状態となる$x$の範囲を求めよ．     (ii)  $f(x)$が極大値，極小値，変曲点をとる$x$の点を求めよ．     (iii)  $f(x)$のグラフの概形を描け．

問 5.66 (テイラー展開とグラフの形)   次の関数が $x=0$ で極値をとるかを， マクローリン展開をして議論せよ．
    (1)   $(\cos x-1)\sin x^2$     (2)   $x^2\sin x-x^3 e^x$     (3)   $x^2-x^2\cos x$     (4)   $x^2\log(1+x)-x^3$

問 5.67 (テイラー級数展開による近似)   次の近似値を $f(x)$ のマクローリン級数を $5$ 次項まで行い計算せよ．
    (1)   $${e^{\frac{1}{2}}}$$ $${\left(f(x)=e^{x},x=\frac{1}{2}\right)}$$     (2)   $${\log 2}$$ $${\left(f(x)=\log\frac{1+x}{1-x},x=\frac{1}{3}\right)}$$
    (3)   $${\sin 0.1}$$ $${\left(f(x)=\sin x, x=0.1\right)}$$

問 5.68 (テイラー展開)   次の関数を $n$ 次までテイラー展開し， 剰余項 $R_{n+1}$ も具体的に書き下せ．
    (1)  $e^{x}$, $n=2$     (2)  $\sin x$, $n=3$     (3)  $\cos x$, $n=4$     (4)  $\log x$, $n=0$

問 5.69 (テイラー級数展開による近似)   関数     (1)   $f(x)=e^{-x}$,     (2)   $f(x)=\cos x$ の近似を考える．
    (i)   関数 $f(x)$ を点 $x=0$ のまわりで点 $x$ について有限テイラー展開せよ．     (ii)   関数 $f(x)$ を原点の近くで多項式で近似せよ． 0 次から $4$ 次の近似多項式 $\widetilde{f}_{0}(x)$, $\widetilde{f}_{1}(x)$, $\cdots$, $\widetilde{f}_{4}(x)$ を求めよ．     (iii)   点 $x=1$ での近似多項式 $\widetilde{f}_{0}(x)$, $\cdots$, $\widetilde{f}_{4}(x)$ の誤差を評価せよ．     (iv)   $x\geq0$ の範囲で近似多項式 $\widetilde{f}_{0}(x)$, $\cdots$, $\widetilde{f}_{4}(x)$ の誤差が$0.0001$ 未満となる $x$ の範囲を求めよ．

平成22年6月17日