6.6 演習 〜 不定積分，置換積分，部分積分

問 6.35 (不定積分)   次の不定積分を書け．
    (1)   $${\int\,dx}$$     (2)   $${\int x^3\,dx}$$     (3)   $${\int x^4\,dx}$$     (4)   $${\int\frac{dx}{x}}$$     (5)   $${\int\frac{dx}{x^4}}$$     (6)   $${\int\frac{dx}{x^5}}$$     (7)   $${\int\sqrt{x}\,dx}$$
    (8)   $${\int e^{x}\,dx}$$     (9)   $${\int 2^{x}\,dx}$$     (10)   $${\int 3^{x}\,dx}$$     (11)   $${\int\sin x\,dx}$$     (12)   $${\int\cos x\,dx}$$     (13)   $${\int\frac{dx}{\cos^2x}}$$
    (14)   $${\int\sinh x\,dx}$$     (15)   $${\int\cosh x\,dx}$$     (16)   $${\int\frac{dx}{\cosh^2x}}$$     (17)   $${\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$$     (18)   $${\int\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}}$$
    (19)   $${\int\frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}}$$     (20)   $${\int\frac{dx}{1+x^2}}$$     (21)   $${\int\frac{dx}{1-x^2}}$$

問 6.36 (不定積分の計算)   次の不定積分を求めよ．
    (1)   $${\int x^8 dx}$$     (2)   $${\int(x^2-3x+1)\,dx}$$     (3)   $${\int(x^3-2x)\,dx}$$     (4)   $${\int(x^3-x^2+3x-2)dx}$$
    (5)   $${\int(5x^4+6x^2)\,dx}$$     (6)   $${\int\frac{dx}{x^3}}$$     (7)   $${\int\left(x^7+\frac{1}{x^9}\right)\,dx}$$     (8)   $${\int\frac{(x+1)^2}{x^2}\,dx}$$     (9)   $${\int\frac{1+x}{x^3}\,dx}$$
    (10)   $${\int\frac{1+x^3}{x^4}\,dx}$$     (11)   $${\int\sqrt[4]{x} dx}$$     (12)   $${\int(1+x)\sqrt[3]{x}\,dx}$$     (13)   $${\int\frac{2x+3}{\sqrt x}\,dx}$$
    (14)   $${\int(2\cos x - 3\sin x)\,dx}$$     (15)   $${\int(4\,\sin x-3\,\cos x)\,dx}$$     (16)   $${\int\cos^2 x\,dx}$$ (倍角)

問 6.37 (置換積分法)   次の不定積分を求めよ．
（ヒント： $${\int(\phi(x))^\alpha\phi'(x)\,dx}$$）
    (1)   $${\int(ax+b)^m dx}$$     (2)   $${\int 3x^2(x^3+2)^{3}\,dx}$$     (3)   $${\int x^2(x^3+1)^{4}\,dx}$$     (4)   $${\int(2x+5)^6\,dx}$$
    (5)   $${\int (2x^3+1)(x^4+2x)^{10}\,dx}$$     (6)   $${\int\frac{x}{(1+x^2)^3}\,dx}$$     (7)   $${\int\frac{x-1}{x^2-2x+1}\,dx}$$     (8)   $${\int\sqrt[3]{1+x}\,\,dx}$$
    (9)   $${\int x\sqrt{1-x^2}dx}$$     (10)   $${\int\sqrt{x^2-x^4}\,dx}$$     (11)   $${\int\frac{dx}{\sqrt{1+3x}}}$$     (12)   $${\int\frac{x^2}{\sqrt{2x^3-5}}\,dx}$$
    (13)   $${\int(e^x+1)^2 e^x\,\,dx}$$     (14)   $${\int\frac{\sin x}{\cos^3 x}\,dx}$$     (15)   $${\int\frac{dx}{\tan x}}$$     (16)   $${\int\tan x\,dx}$$
    (17)   $${\int\tanh x}\,\,dx$$     (18)   $${\int\frac{2x-1}{x^2-2x+1}\,dx}$$ (2つに分ける)     (19)   $${\int\frac{1+x}{1+x^2}dx}$$ (2つに)
（ヒント：多項式）
    (20)   $${\int\cos(ax+b)\,dx}$$ ($t=ax+b$)     (21)   $${\int\frac{dx}{x^2+4}}$$ ($t=x/2$)     (22)   $${\int\frac{dx}{a^2+x^2}}$$ ($t=x/a$)
    (23)   $${\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}$$     (24)   $${\int\frac{dx}{x^2-a^2}}$$     (25)   $${\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}}$$     (26)   $${\int\frac{dx}{x^2+2x+2}}$$ ($t=x+1$)
    (27)   $${\int\frac{x}{\sqrt{1-(x+2)^2}}\,dx}$$ ($t=x+2$)     (28)   $${\int\frac{x+2}{\sqrt{1-2x^2}}\,dx}$$ (2つに)
    (29)   $${\int x\,\cos(2x^2+1)\,dx}$$ ($t=2x^2+1$)     (30)   $${\int xe^{x^2}\,\,dx}$$ ($t=x^2$)
    (31)   $${\int x\log(x^2+1)\,\,dx}$$ ($t=x^2+1$)     (32)   $${\int\frac{x}{1+x^4}dx}$$ ($t=x^2$)
    (33)   $${\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}\,dx}$$ ($t=x^3$)     (34)   $${\int\frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}}$$ ($x=t^2$)
（ヒント：$t=\sin x$, $t=\cos x$, $t=e^x$, $t=\log x$）
    (35)   $${\int\frac{\cos x}{1+\sin x}\,dx}$$     (36)   $${\int\frac{2\cos x}{1+3\sin x}\,dx}$$     (37)   $${\int\cos^3x\,dx}$$ ( $\cos^3 x=\cos x(1-\sin^2x)$)
    (38)   $${\int\sqrt{a^2-x^2}dx}$$ ($x=a\sin t$)     (39)   $${\int\frac{dx}{e^{x}+e^{-x}}}$$     (40)   $${\int\frac{\log x}{x}\,dx}$$     (41)   $${\int\log x^{\frac{1}{x}}\,dx}$$
    (42)   $${\int\frac{dx}{x\,\log x}}$$

問 6.38 (部分積分法)   次の不定積分を求めよ．
    (1)   $${\int x^2e^{x}\,dx}$$     (2)   $${\int x^2e^{-x}\,dx}$$     (3)   $${\int x^2e^{3x}\,dx}$$     (4)   $${\int \log x\,dx}$$     (5)   $${\int x\,\log x\,dx}$$
    (6)   $${\int x\sin x\,dx}$$     (7)   $${\int x^2\sin x\,dx}$$     (8)   $${\int x^2\cos x\,dx}$$     (9)   $${\int\mathrm{Sin}^{-1}x\,dx}$$     (10)   $${\int\mathrm{Tan}^{-1}x\,dx}$$
    (11)   $${\int x\sqrt{1+x}\,dx}$$     (12)   $${\int\sqrt{a^2-x^2}dx}$$     (13)   $${\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx}$$

問 6.39 (部分積分法)   次の不定積分を求めよ．

$$I=\int e^{ax}\cos bx\,dx, \qquad J=\int e^{ax}\sin bx\,dx$$

問 6.40 (部分積分法)   次の不定積分を求めよ．

$$I_n=\int\cos^n x\,dx, \qquad J_n=\int\sin^n x\,dx, \qquad n=0,1,2,\cdots$$

平成22年6月17日