6.26 パラメータで表される曲線の長さ

定理 6.126 (曲線の長さ)   曲線 $x=\phi(t)$, $y=\psi(t)$, $\alpha\le t\le \beta$ の長さは

$$s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+ \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$$

により得られる．

（証明）     $a=\phi(\alpha)$, $b=\phi(\beta)$ として， 置換積分すると

$$s= \int_{a}^{b}\sqrt{1+(y')^2}dx= \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{1+\l... ...}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+ \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$$

となる．

例 6.127 (サイクロイド)   サイクロイド

$$x=\phi(t)=a(t-\sin t), \quad y=\psi(t)=a(1-\cos t), \quad 0\le t\le 2\pi$$

の曲線の長さ $s$ と， サイクロイドと $x$ 軸とで囲まれた領域の面積 $S$ を求める． $t$ の積分区間は $[0,2\pi]$ であり， $\phi(0)=0$, $\phi(2\pi)=2a\pi$ より $x$ の積分区間は $[0,2a\pi]$ であることに注意して積分すると，

$$s= \int_{0}^{2a\pi}\sqrt{1+(y')^2}dx= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{\left(... ...+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt= a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{(1-\cos t)^2\sin^2 t}dt$$

$$= a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{2(1-\cos t)}dt= a\int_{0}^{2\pi}\sqrt{4\s... ...ule height1.5em width0em depth0.1em\,{-\cos\frac{t}{2}}\,\right]_{0}^{2\pi}=8a,$$

$$S=\int_{0}^{2a\pi}y\,dx= \int_{0}^{2\pi}y\frac{dx}{dt}\,dt= a^2\int_{0}^{2\pi}(1-\cos t)^2\,dt= a^2\int_{0}^{2\pi}(1-2\cos t+\cos^2 t)\,dt$$

$$= a^2\int_{0}^{2\pi}\left(1-2\cos t+\frac{1+\cos 2t}{2}\right)\,dt= a^2\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{3}{2}-2\cos t+\frac{\cos 2t}{2}\right)\,dt$$

$$= a^2\left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{3}{2}t-2\sin t+\frac{1}{4}\sin 2t}\,\right]_{0}^{2\pi}= 3\pi a^2\,.$$

平成22年6月17日