4.6 収束するときにかぎり四則演算と極限は可換

次の定理はある条件の下では方程式の項の移行が可能であることを意味する．

定理 4.17 (数列の極限に関する定理)

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(a_{n}-a\right)=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \lim_{n\to\infty} a_{n}=a\,.$

一般には極限操作と四則演算は交換可能ではないがある条件の下では可能である．次の定理はそれを保証する．

定理 4.18 (数列の極限に関する定理) 数列 $\{a_{n}\}$ , $\{b_{n}\}$ に関して極限

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=a\,,\qquad \lim_{n\to\infty}b_{n}=b$

が存在するとき，次の関係式が成り立つ：

	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)= \lim_{n\to\infty}a_{n}+\lim_{n\to\infty}b_{n}=a+b\,.$
	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\alpha\, a_{n}+\beta\, a_{n}\right)= \alpha\lim_{n\to\infty}a_{n}+\beta\lim_{n\to\infty}b_{n}= \alpha\,a+\beta\,b\,.$
	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(a_{n}b_{n}\right)= \left(\lim_{n\to\infty} a_{n}\right)\left(\lim_{n\to\infty} b_{n}\right)= ab\,.$
	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)= \frac{\display... ..._{n\to\infty}a_{n}}} {\displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_{n}}}= \frac{a}{b}\quad($ $b\neq0$ のとき $\displaystyle )\,.$

ただし $\alpha$ , $\beta$ は定数とする．