4.18 正項級数に関する収束性の比較判定法

定理 4.63 (比較判定法)   二つの正項級数

$$S =\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\,,\qquad T=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,$$

を考える．

数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$ がある正の整数 $N$ に対して

$$0\leq a_{n}\leq b_{n}\,\quad (n\geq N)$$

をみたすとき， 次の関係が成り立つ：

(i)

$T$ が収束するとき，$S$ も収束する．

(ii)

$S$ が発散するとき，$T$ も発散する．

例 4.64 (比較判定法の具体例)   級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}}$$ を考える． 数列 $${a_{n}=\frac{1}{1+2^n}}$$, $${b_{n}=\frac{1}{2^n}}$$ とする． このとき $0<a_{n}<b_{n}$ をみたす． また，級数 $T=\sum b_{n}=\sum 1/2^{n}$ は収束する． よって定理より級数 $S=\sum 1/(1+2^n)$ もまた収束する．

定理 4.65 (比較判定法)   二つの正項級数

$$S =\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\,,\qquad T=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\,$$

を考える． 数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$ が

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L<\infty$$

を満たし，かつ級数 $T=\sum b_{n}$ が収束するとき， 級数 $S=\sum a_{n}$ も収束する．

例 4.66 (調和級数)   級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$$ を 調和級数（harmonic series）という． 調和級数は発散する．

（証明）調和級数の部分和

$$T_n = \sum_{k=1}^{n}b_{k}= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}= 1+\frac{1}{2}+\... ...\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{n}$$

の各項を括り直して

$$T_n = \sum_{k=1}^{m}\tilde{b}_{k}= 1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ri... ...5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+ \left(\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{15}\right)$$

$$\qquad\qquad+ \left(\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{31}\right)+\cdots \left(\frac{1}{2^m}+\cdots+\frac{1}{2^{m+1}-1}\right)$$

とおき直す． ただし $n=2^{m+1}-1$ であり $m=\log(n+1)/\log 2-1$ とおく． ここで，数列 $\{\tilde{b}_{k}\}$ と $a_{m}<\tilde{b}_{m}$ をみたす数列 $\{a_{m}\}$ を

$$\tilde{b}_{1} =1 > \quad \frac{1}{2}=a_1$$

$$\tilde{b}_{2} =\frac{1}{2}+\frac{1}{3} > \quad \underbrace{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}_{2}=\frac{1}{2}=a_2$$

$$\tilde{b}_{3} =\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7} > \quad \underbrace{\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}_{4}= \frac{1}{2}=a_3$$

$$\tilde{b}_{4} =\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+ \frac{1}{12}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15} > \quad \underbrace{\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{16}}_{8}=\frac{1}{2}=a_4$$

$$\qquad\qquad\vdots \qquad\qquad\vdots$$

$$\tilde{b}_{m} = \underbrace{\frac{1}{2^{m}}+\frac{1}{2^{m}+1}+\frac{1}{2^{m}+2} +\cdots+\frac{1}{2^{m+1}-1}}_{2^{m}} > \quad \underbrace{\frac{1}{2^{m+1}}+\frac{1}{2^{m+1}}+\frac{1}{2^{m+1}} +\cdots+\frac{1}{2^{m+1}}}_{2^{m}}$$

$$\quad =\frac{2^{m}}{2^{m+1}}=\frac{1}{2}=a_{m}$$

とおく． このとき，

$$S_n=\sum_{k=1}^{m}a_k=\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{2}=\frac{m}{2}= \frac{1}{2}\left(\frac{\log(n+1)}{\log 2}-1\right),$$

$$S=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{m\to\infty}\frac{m}{2}=\infty$$

が成り立つ． $0<a_{m}<\tilde{b}_{m}$ であり $S_{n}<T_{n}$ であるから， 比較判定法より

$$T=\sum_{m=1}^{\infty}\tilde{b}_{m}= \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=\infty$$

を得る．以上証明終り．

例 4.67 (収束判定の具体例)   級数 $${S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$$ は

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \quad<\quad T=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}=2$$

をみたす．$T$ は収束するので，$S$ も収束する．

例 4.68 (収束判定の具体例)   級数 $${S=\sum\frac{1}{n^3}}$$ は

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} \quad<\quad T=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$$

をみたす．$T$ は収束するので $S$ も収束する．

定理 4.69 (級数の収束)  

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}= \left\{ \begin{array}{ll} \text{発散} & (p=1) \\ \text{収束} & (p=2,3,4,\cdots) \end{array} \right.$$

例 4.70 (比較判定法の具体例)   級数

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}= 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{3}}+ \frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots \frac{1}{\sqrt{n}}+\cdots$$

は， $${\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{n}}$$ より， $${S>T=\sum\frac{1}{n}}$$ となる． $T$ は発散するので $S$ も発散する．

定理 4.71 (級数の収束)   $p\in\mathbb{R}$ に対して

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}= \left\{ \begin{array}{ll} \text{発散} & (0<p\leq 1) \\ \text{収束} & (p>1) \end{array} \right.$$

例 4.72 (比較判定法)   級数 $${T=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n^2-1}}$$ は

$$\frac{n}{n^2-1}>\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$$

より $${T>S=\sum_{n=2}\frac{1}{n}=-1+\sum_{n=1}\frac{1}{n}}$$ をみたす． $S$ は調和級数であり発散するので $T$ も発散する．

例 4.73 (比較判定法)   級数 $${T=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{n^2+1}}$$ は

$$\frac{n+2}{n^2+1}>\frac{n+2}{n(n+2)+1}=\frac{n+2}{(n+1)^2}> \frac{n+1}{(n+1)^2}=\frac{1}{n+1}$$

より $${T>S=\sum_{n=1}\frac{1}{n+1}=-1+\sum_{n=1}\frac{1}{n}}$$ をみたす． $S$ は調和級数であり発散するので $T$ も発散する．

平成22年6月17日