4.24 演習 〜 級数，べき級数

問 4.105 (級数)   級数 $${\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}$$ の定義を述べよ．

問 4.106 (級数)   次の級数について(i) 級数の第 $n$ 部分和 $S_{n}$ を求めよ． (ii) 数列 $\{S_{n}\}$ の概形を書け． (iii) 級数の値を求めよ．
    (1)   $${\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}}$$     (2)   $${\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n}}$$     (3)   $${\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n}}$$     (4)   $${\sum_{n=2}^{\infty}a\,r^{n}}$$     (5)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n}}$$     (6)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-n}}$$
    (7)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+3n+2}}$$     (8)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1}}$$     (9)   $${\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{2n+1}{n^2+n}}$$

問 4.107 (級数)   次の級数の値を求めよ．
    (1)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}}$$     (2)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^n}}$$     (3)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{3^n}}$$     (4)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n-1}}}$$     (5)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}}$$     (6)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}}}$$     (7)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{4^n}}$$
    (8)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{9}{10^n}}$$     (9)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^{n}+\left(\frac{1}{4}\right)^{n}\right\}}$$     (10)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^n+2^n+3^n}{4^n}}$$     (11)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n+3^n+4^n}{5^n}}$$
    (12)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^n+3^n+5^n}{6^n}}$$     (13)   $${\sum_{n=3}^{\infty}\frac{2\cdot 3^n+3\cdot 4^n}{4\cdot 5^n}}$$     (14)   $0.9999999999\cdots$

問 4.108 (比較判定)   次の級数は収束するか発散するか述べよ．
    (1)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+2^n}}$$     (2)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}$$     (3)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$$     (4)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}}$$     (5)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}}$$     (6)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n}}}$$
    (7)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{n}{n^2-1}}$$     (8)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{n^2+1}}$$

問 4.109 (ダランベールの収束判定)   次の級数は収束するか発散するか述べよ．
    (1)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}}$$     (2)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n!}}$$     (3)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{n!}}$$     (4)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}}$$     (5)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{2^n}}$$     (6)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{e^n}}$$     (7)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}}$$
    (8)   $${\sum_{n=1}^{\infty}n\sin{\frac{\pi}{2^n}}}$$     (9)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{n!}}$$ ($a>0$)     (10)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\vert x\vert^{n}}{n!}}$$ ( $x\in\mathbb{R}$)     (11)   $${\sum_{n=1}^{\infty}a^nb^n}$$($a,b>0$)
    (12)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a+1)(2a+1)\cdots(na+1)} {(b+1)(2b+1)\cdots(nb+1)}}$$($a,b>0$)

問 4.110 (コーシーの収束判定)   次の級数は収束するか発散するか述べよ．
    (1)   $${\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{n-2}{3n-5}\right)^n}$$     (2)   $${\sum_{n=3}^{\infty}\left(\frac{4n-2}{3n-5}\right)^n}$$     (3)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{n}\right)^{n}}$$     (4)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}$$
    (5)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}}$$     (6)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n^2}}$$     (7)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^2}2^{-n}}$$     (8)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+2}\right)^{n^2}e^n}$$
    (9)   $${\sum_{n=1}^{\infty}e^{-n^2}}$$     (10)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\log{n})^n}}$$

問 4.111 (交項級数)   次の級数は収束するか発散するか述べよ．
    (1)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}}$$     (2)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}}$$

問 4.112 (級数の収束)   次の級数が絶対収束級数か条件収束級数か答えよ．
    (1)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}}$$     (2)   $${\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n-1}}$$     (3)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}}$$     (4)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2^n}}$$     (5)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}2^n}{n!}}$$
    (6)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^n}{n!}}$$    ($a>0$)     (7)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}a^n}{n!}}$$    ($a>0$)     (8)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}\log{n}}{n}}$$     (9)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}\log n}{n^2}}$$
    (10)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin na}{n^2}}$$

問 4.113 (べき級数)   べき級数 $${\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n}$$ は 極限 $${r= \lim_{n \to\infty}\left\vert\frac{c_n}{c_{n+1}}\right\vert}$$ または $${r= \lim_{n \to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\vert c_n\vert}}}$$ が存在するとき $\left\vert x-a\right\vert<r$ において絶対収束することを示せ．

問 4.114 (べき級数)   次のべき級数の収束半径を求めよ．
    (1)   $${\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}}$$     (2)   $${\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}x^n}$$
    (3)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}}$$     (4)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n}$$     (5)   $${\sum_{n=0}^{\infty}n!\, x^n}$$     (6)   $${\sum_{n=0}^{\infty}n!\,(x+2)^{n}}$$     (7)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^n}$$
    (8)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n}}$$     (9)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}}$$     (10)   $${\sum_{n=0}^{\infty}nx^{n}}$$     (11)   $${\sum_{n=0}^{\infty}n\,(x+1)^{n}}$$     (12)   $${\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nn\,(x-1)^{n}}$$
    (13)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^n}x^n}$$     (14)   $${\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{n}}$$     (15)   $${\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}x^{2n}}$$     (16)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{2^n}}$$     (17)   $${\sum_{n=0}^{\infty}2^{n}(x-1)^{n}}$$
    (18)   $${\sum_{n=0}^{\infty}(3^n-2^{n+1})x^n}$$     (19)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n n^2}x^n}$$     (20)   $${\sum_{n=0}^{\infty}a^{n^2}x^n}$$ ($a>0$)
    (21)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}x^n}$$     (22)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}(x-2)^{n}}$$     (23)   $${\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n+1)^n}{n!}x^n}$$     (24)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^n}x^n}$$     (25)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{n^n}x^n}$$
    (26)   $${\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}x^n}$$     (27)   $${\sum_{n=0}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\,x^n}$$

平成22年6月17日