3.10 極座標への置換積分
例 3.51 (多重積分の変数変換) 多重積分
を求める. 積分変数を
とおく. このとき極座標への座標変換のヤコビアンは
であり,領域を
で表すと,
となる. これらより,
を得る.
注意 3.52 (極座標の面素) 直交座標から極座標
への変換で, 面素は
と変換される.
座標では辺の長さが
と
の長方形の面積であり,
座標では辺の長さが
と
(半径
,角
の円弧の長さ)の 長方形の面積となる.
問 3.53 (多重積分の変数変換) 領域を
に関して単純な領域とみなし, 多重積分を
により求めよ.
(a) 領域 (b) 座標
(c) 領域
(d) 座標での
(e) 座標での
例 3.54 (多重積分の変数変換) 多重積分
を計算する. ここで, 2 次元の極座標,
を用いると, 領域
は
座標では領域
となる. 多重積分を置換積分し,に関して単純な領域であることに注意して計算すると,
となる. ここで,
を用いると,
と求まる.![]()
例 3.55 (多重積分の変数変換) 多重積分
を計算する. 領域は
と書けるので, 中心で半径
の円の内部の領域である. ここで, 座標変換
,
を考える. このとき,領域
は
座標で,
となる.ヤコビアンは
となる. 多重積分を置換積分すると,
を得る.
平成21年12月2日