3.10 極座標への置換積分

例 3.51 (多重積分の変数変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dxdy, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq a^2}\,\right\}\quad(a>0)$$

を求める． 積分変数を

$$x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta$$

とおく． このとき極座標への座標変換のヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \det \begin{bmatrix}x_r... ...{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r$$

であり，領域 $D$ を $(r,\theta)$ で表すと，

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{0\leq r\leq a,\,0\leq\theta\leq2\pi}\,\right\}$$

となる． これらより，

$$\iint_D(x^2+y^2)\,dxdy= \iint_E((r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2) ... ...\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right\vert\,drd\theta= \iint_Er^3\,drd\theta$$

$$= \int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{a}r^3\,dr= \left(\int_{0}^{2\pi... ...ht1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^4}{4}}\,\right]_{0}^{a}=\frac{\pi a^4}{2}$$

を得る．

注意 3.52 (極座標の面素)   直交座標 $xy$ から極座標 $r\theta$ への変換で， 面素は $dS=dxdy=rdrd\theta$ と変換される． $xy$ 座標では辺の長さが $dx$ と $dy$ の長方形の面積であり， $r\theta$ 座標では辺の長さが $dr$ と $rd\theta$ （半径 $r$，角 $d\theta$ の円弧の長さ）の 長方形の面積となる．

問 3.53 (多重積分の変数変換)   領域 $D$ を $x$ に関して単純な領域とみなし， 多重積分を

$$I =\int_{-1}^{1}dx\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}dy\,(x^2+y^2)$$

により求めよ．

(a) 領域 $D$	(b) $r\theta$ 座標	(c) 領域 $E$

(d) $xy$ 座標での $I$	(e) $r\theta$ 座標での $I$

例 3.54 (多重積分の変数変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}x\,dxdy, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$$

を計算する． ここで， 2 次元の極座標 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ を用いると， 領域 $D$ は $(r,\theta)$ 座標では領域

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)\vrule height1em width0em depth0.1em}... ...frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},\,\, 0\leq r\leq a\cos\theta}\,\right\}$$

となる． 多重積分を置換積分し， $\theta$ に関して単純な領域であることに注意して計算すると，

$$I = \iiint_{E}r\cos\theta\,\, r\,drd\theta= \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\c... ...height1.5em width0em depth0.1em\,{\frac{r^3}{3}}\,\right]_{r=0}^{r=a\cos\theta}$$

$$= \frac{a^3}{3} \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta$$

となる． ここで，

$$\cos^4\theta= \cos^2\theta(1-\sin^2\theta)= \cos^2\theta-(\sin\theta\cos\theta)^2= \cos^2\theta-\frac{1}{4}\sin^22\theta$$

$$= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2\theta- \frac{1}{4}\left( \frac{1}{... ...\cos4\theta \right)= \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2\theta+ \frac{1}{8}\cos4\theta$$

を用いると，

$$I = \frac{a^3}{3} \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\f... ...in2\theta+ \frac{1}{32}\sin4\theta}\,\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}= \frac{\pi}{8}a^3$$

と求まる．

例 3.55 (多重積分の変数変換)   多重積分

$$I=\iint_{D}x\,dxdy, \qquad D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{x^2+y^2\leq ax}\,\right\}$$

を計算する． 領域 $D$ は

$$D=\left\{\left.\,{(x,y,z)}\,\,\right\vert\,\,{\left(x-a/2\right)^2+y^2\leq\left(a/2\right)^2}\,\right\}$$

と書けるので， 中心 $(0,a/2)$ で半径 $a/2$ の円の内部の領域である． ここで， 座標変換 $x=a/2+r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ を考える． このとき，領域 $D$ は $(r,\theta)$ 座標で，

$$E=\left\{\left.\,{(r,\theta)}\,\,\right\vert\,\,{ 0\le\theta\le2\pi,\, 0\le r\le a/2}\,\right\}$$

となる．ヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \det \begin{bmatrix}x_r... ...{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} =r$$

となる． 多重積分を置換積分すると，

$$I = \iiint_{E}\left(\frac{a}{2}+r\cos\theta\right) r\,drd\theta= \f... ...\int_{0}^{2\pi}d\theta+ \int_{0}^{a/2}r^2\,dr\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta$$

$$= \frac{a}{2} \left[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\fra... ....1em\,{\sin\theta}\,\right]_{0}^{2\pi} = \frac{\pi a^3}{8}+0 = \frac{\pi}{8}a^3$$

を得る．

平成21年12月2日