2.6 $\mathbb{R}^3$ における直線の方程式

例 2.11 ( $\mathbb{R}^{3}$ の直線の方程式の具体例)   点 $A(1,2,-1)$, $B(-1,3,-2)$ を通る直線の方程式を考える． 直線は点 $A$ を通り，方向ベクトルは $\overrightarrow{AB}$ である． すなわち，

$$\vec{x}_0=\overrightarrow{OA}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{b... ...{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ (33)

とおく． 直線の方程式のパラメータ表示は

$$\vec{x}=\vec{x}_0+t\vec{p}= \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ -1 \end{bmat... ...x}-2 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1-2t \\ 2+t \\ -1-t \end{bmatrix}$$ (34)

である．$t$ を消去して 直線の方程式の成分表示は

$$\frac{x-1}{-2}= \frac{y-2}{1}= \frac{z+1}{-1}$$ (35)

である． この方程式は 3 元 2 連立の方程式であることに注意する． 例えば第 1, 2 式と第 2, 3 式の組で連立を組むと

$$\left\{ \begin{array}{l} x+2y-5=0 \\ -y-z+1=0 \end{array} \right.$$

となる．

平成21年4月3日