2.21 連立方程式を解いて平面の方程式を導出

例 2.50 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例)   3 点 $A(1,1,-2)$, $B(3,0,1)$, $C(2,1,-1)$ を通る $xyz$ 空間内の平面を考える． 平面の方程式の一般形は

$$ax+by+cz+1=0$$

であるから，これに各点の座標を代入すると 連立方程式

$$a+b-2c+1=0, \quad 3a+c+1=0, \quad 2a+b-c+1=0$$

を得る．この方程式の解は

$$(a,b,c)=\left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$$

である．よって平面の方程式は $x-y-z-2=0$ となる．

注意 2.51 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式と連立方程式)   平面は 3 点から一意に定まる． これは 3 元の連立方程式は 3 本の方程式により解が 一意に定まることと等価である．

平成21年4月3日