数列の極限に関する定理

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定理 1.19 (数列の極限に関する定理)

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(a_{n}-a\right)=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \lim_{n\to\infty} a_{n}=a\,.$

(31)

定理 1.20 (数列の極限に関する定理) 数列 $\{a_{n}\}$ , $\{b_{n}\}$ に関して極限

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=a\,,\qquad \lim_{n\to\infty}b_{n}=b$

(32)

が存在するとき，以下の関係式が成り立つ：

	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)= \lim_{n\to\infty}a_{n}+\lim_{n\to\infty}b_{n}=a+b\,.$	(33)
	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\alpha\, a_{n}+\beta\, a_{n}\right)= \alpha\lim_{n\to\infty}a_{n}+\beta\lim_{n\to\infty}b_{n}= \alpha\,a+\beta\,b\,.$	(34)
	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(a_{n}b_{n}\right)= \left(\lim_{n\to\infty} a_{n}\right)\left(\lim_{n\to\infty} b_{n}\right)= ab\,.$	(35)
	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)= \frac{\display... ...\lim_{n\to\infty}a_{n}}} {\displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_{n}}}=\frac{a}{b}\,.$	(36)