数列の極限に関する定理

定理 1.19 (数列の極限に関する定理)  

$$\lim_{n\to\infty}\left(a_{n}-a\right)=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad \lim_{n\to\infty} a_{n}=a\,.$$ (31)

定理 1.20 (数列の極限に関する定理)   数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$ に関して極限

$$\lim_{n\to\infty}a_{n}=a\,,\qquad \lim_{n\to\infty}b_{n}=b$$ (32)

が存在するとき，以下の関係式が成り立つ：

$$\lim_{n\to\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)= \lim_{n\to\infty}a_{n}+\lim_{n\to\infty}b_{n}=a+b\,.$$ (33)

$$\lim_{n\to\infty}\left(\alpha\, a_{n}+\beta\, a_{n}\right)= \alpha\lim_{n\to\infty}a_{n}+\beta\lim_{n\to\infty}b_{n}= \alpha\,a+\beta\,b\,.$$ (34)

$$\lim_{n\to\infty}\left(a_{n}b_{n}\right)= \left(\lim_{n\to\infty} a_{n}\right)\left(\lim_{n\to\infty} b_{n}\right)= ab\,.$$ (35)

$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n}}{b_{n}}\right)= \frac{\display... ...\lim_{n\to\infty}a_{n}}} {\displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_{n}}}=\frac{a}{b}\,.$$ (36)

ただし $\alpha$, $\beta$ は定数とする．

定理 1.21 (はさみうちの定理)   数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$, $\{c_{n}\}$ が

$$a_{n} \le b_{n} \le c_{n}\,,\qquad n=1,2,3,\cdots$$ (37)

を満たすとき，

$$\lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}b_{n}=a$$ (38)

ならば，

$$\lim_{n\to\infty}c_{n}=a$$ (39)

が成り立つ．

Kondo Koichi
Created at 2002/09/12