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級数(series)とは数列
の和である.
式では
と書き表す.
加法(足し算)は有限回の演算においてのみ定義されているので,
式(
)は形式的な和である.
厳密に級数を定義するには次のように考える.
まず第
項までの有限和
![$\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$](img149.png) |
(67) |
を考える.
これを第
部分和(the
-th partial sum)と呼ぶ.
に関する数列
![$\displaystyle \{S_{n}\}=S_1,S_2,\cdots,S_{n}$](img151.png) |
(68) |
を考える.
数列
の極限
![$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_{n}$](img153.png) |
(69) |
が存在したとする.
このとき級数
は存在し,
その値は
![$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S$](img155.png) |
(70) |
で与えられると定義する.
極限
が存在するとき級数
は収束すると呼ぶ.
極限
が存在しない場合は級数
は発散すると呼ぶ.
例 1.30 (等比級数)
等比数列
![$ \{a_{n}=a\,r^{n-1}\}$](img157.png)
の無限和を
等比級数(geometrical progression series)と呼び,
![$\displaystyle S=\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n-1}$](img158.png) |
(71) |
と書き表す.
等比級数は
![$\displaystyle S=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{a}{1-r}} & (\vert r\vert< 1) \\ [1em] \text{発散} & (\vert r\vert\ge 1) \end{array} \right.$](img159.png) |
(72) |
となる.
(証明)
第
![$ n$](img40.png)
部分和
![$\displaystyle S_{n}$](img160.png) |
![$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}a\,r^{k-1}=a(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$](img161.png) |
(73) |
を考える.
![$ r=1$](img99.png)
のとき,
![$\displaystyle S_{n}=a(1+1+\cdots+1)=a\,n$](img162.png) |
(74) |
となる.
つぎに
![$ r\neq 1$](img163.png)
のとき,等式
![$\displaystyle 1-r^n=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$](img164.png) |
(75) |
を用いると
![$ S_{n}$](img150.png)
は
![$\displaystyle S_{n}=a\frac{1-r^{n}}{1-r}$](img165.png) |
(76) |
と書ける.
以上より
![$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \left\{ \begin{array}{lc} \displaystyle...
...& (-1<r<1)\\ [2ex] \displaystyle{\text{不確定}} & (r\leq-1) \end{array} \right.$](img166.png) |
(77) |
となる.
ただし無限大の符号は
![$ a$](img25.png)
の符号
![$ \mathrm{sgn}\,(a)=a/\vert a\vert$](img167.png)
で決まる.
証明終り.
問 1.31 (1を根にもつ多項式の因数分解)
以下の等式を示せ.
![$\displaystyle 1-r^{n}=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})\,.$](img168.png) |
(78) |
注意 1.32 (初項が異なる級数)
級数が
![$\displaystyle S=\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}$](img169.png) |
(79) |
と定義されるときの値を考える.
部分和は
![$\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n}a\,r^{n}= a(1+r+r^2+\cdots+r^{n})= a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$](img170.png) |
(80) |
となるから,
結局級数は
![$\displaystyle S= \lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^{n+1}}{1-r...
...(\vert r\vert<1) \\ [1ex] \text{発散} & (\vert r\vert\geq1) \end{array} \right.$](img171.png) |
(81) |
と得られる.
例 1.33 (等比級数の具体例)
または
![$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=1$](img180.png) |
(89) |
例 1.34 (等比級数の具体例)
または
![$\displaystyle S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{3^n}\right)=\frac{3}{2}$](img187.png) |
(95) |
例 1.35 (等比級数の具体例)
![$\displaystyle 0.9999\cdots = 1\,.$](img188.png) |
(96) |
(証明)
問 1.36
教科書(p.172)問題7-1.
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Kondo Koichi
Created at 2002/09/12