級数

級数（series）とは数列 $\{a_{n}\}$ の和である． 式では

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}+\cdots$$ (65)

$$=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\sum a_{n}$$ (66)

と書き表す． 加法（足し算）は有限回の演算においてのみ定義されているので， 式（）は形式的な和である． 厳密に級数を定義するには次のように考える． まず第 $n$ 項までの有限和

$$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$$ (67)

を考える． これを第 $n$ 部分和（the $n$-th partial sum）と呼ぶ． $S_{n}$ に関する数列

$$\{S_{n}\}=S_1,S_2,\cdots,S_{n}$$ (68)

を考える． 数列 $\{S_{n}\}$ の極限

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}$$ (69)

が存在したとする． このとき級数 $\sum a_{n}$ は存在し， その値は

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=S$$ (70)

で与えられると定義する． 極限 $S$ が存在するとき級数 $\sum a_{n}$ は収束すると呼ぶ． 極限 $S$ が存在しない場合は級数 $\sum a_{n}$ は発散すると呼ぶ．

例 1.30 (等比級数)   等比数列 $\{a_{n}=a\,r^{n-1}\}$ の無限和を 等比級数（geometrical progression series）と呼び，

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n-1}$$ (71)

と書き表す． 等比級数は

$$S=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{a}{1-r}} & (\vert r\vert< 1) \\ [1em] \text{発散} & (\vert r\vert\ge 1) \end{array} \right.$$ (72)

となる．

（証明） 第 $n$ 部分和

$$S_{n} =\sum_{k=1}^{n}a\,r^{k-1}=a(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$$ (73)

を考える． $r=1$ のとき，

$$S_{n}=a(1+1+\cdots+1)=a\,n$$ (74)

となる． つぎに $r\neq 1$ のとき，等式

$$1-r^n=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})$$ (75)

を用いると $S_{n}$ は

$$S_{n}=a\frac{1-r^{n}}{1-r}$$ (76)

と書ける． 以上より

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \left\{ \begin{array}{lc} \displaystyle... ...& (-1<r<1)\\ [2ex] \displaystyle{\text{不確定}} & (r\leq-1) \end{array} \right.$$ (77)

となる． ただし無限大の符号は $a$ の符号 $\mathrm{sgn}\,(a)=a/\vert a\vert$ で決まる． 証明終り．

問 1.31 (1を根にもつ多項式の因数分解)   以下の等式を示せ．

$$1-r^{n}=(1-r)(1+r+r^2+\cdots+r^{n-1})\,.$$ (78)

注意 1.32 (初項が異なる級数)   級数が

$$S=\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}$$ (79)

と定義されるときの値を考える． 部分和は

$$S_{n}=\sum_{k=0}^{n}a\,r^{n}= a(1+r+r^2+\cdots+r^{n})= a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}$$ (80)

となるから， 結局級数は

$$S= \lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^{n+1}}{1-r... ...(\vert r\vert<1) \\ [1ex] \text{発散} & (\vert r\vert\geq1) \end{array} \right.$$ (81)

と得られる．

例 1.33 (等比級数の具体例)  

$$S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots$$ (82)

$$=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots\right)$$ (83)

$$=a(1+r+r^2+\cdots)$$ (84)

$$=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1\,.$$ (85)

または

$$S_{n} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}= \frac{1}{2}+ \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{1}{2}\right)^3+\cdots+ \left(\frac{1}{2}\right)^n$$ (86)

$$= \frac{1}{2}\left\{ 1+\frac{1}{2}+ \left(\frac{1}{2}\right)^2+\cdots+ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right\}$$ (87)

$$= \frac{1}{2}\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}= 1-\frac{1}{2^n}$$ (88)

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^n}\right)=1$$ (89)

例 1.34 (等比級数の具体例)  

$$S= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^n} = 1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+ \left(\frac{1}{3}\right)^3+\cdots$$ (90)

$$=a(1+r+r^2+r^3+\cdots)$$ (91)

$$=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$$ (92)

または

$$S_{n} = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{3^k}= 1+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^2+ \left(\frac{1}{3}\right)^3+\cdots+ \left(\frac{1}{3}\right)^n$$ (93)

$$= \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}= \frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{3^n}$$ (94)

$$S=\lim_{n\to\infty}S_{n}= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{1}{3^n}\right)=\frac{3}{2}$$ (95)

例 1.35 (等比級数の具体例)  

$$0.9999\cdots = 1\,.$$ (96)

（証明）

$$0.999\cdots =9\times(0.111\cdots) =9\times\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^{n}$$ (97)

$$=\frac{9}{10}\left(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\cdots\right)$$ (98)

$$=a(1+r+r^2+\cdots)$$ (99)

$$=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=1\,.$$ (100)

問 1.36   教科書（p.172）問題7-1.

問 1.37 (級数の計算)  

$$(1)\quad\sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n}\qquad (2)\quad\sum_{n=1}^{\infty}a\,r^{n}\qquad (3)\quad\sum_{n=2}^{\infty}a\,r^{n}$$ (101)

$$(4)\quad \sum_{n=0}^{\infty} \left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^{n}+\left(\frac{1}{4}\right)^{n} \right\}$$ (102)

$$(5)\quad \sum_{n=3}^{\infty}\frac{2\cdot 3^n+3\cdot 4^n}{4\cdot 5^n}$$ (103)

Kondo Koichi
Created at 2002/09/12